Vzájemná jednoduchost dvou čísel znamená, že nemají společné dělitele kromě jedničky. Dokázat, že čísla 483 A 368 jsou vzájemně jednoduchá, můžeme pomocí Euklidova algoritmu.
Euklidův algoritmus je založen na principu, že největší společný dělitel (NOD) dvou čísel se rovná největšímu společnému děliteli (NOD) zbytku z dělení jednoho čísla na druhé a děliteli tohoto zbytku.
Použitím Euklidova algoritmu pro čísla 483 A 368 postupně vydělíme jedno číslo druhým a zbytek uložíme od dělení:
483 = 1 * 368 + 115
368 = 3 * 115 + 23
115 = 5 * 23 + 0
Když dostaneme zbytek 0, znamená to, že jsme našli největší společný dělitel (NOD) dvou čísel. V tomto případě se NOD čísel 483 a 368 rovná 23.
Čísla 483 A 368: vzájemná jednoduchost
Najdeme největší společný dělitel (NOD) čísel 483 a 368. K tomu použijeme Euklidův algoritmus:
483 ÷ 368 = 1 (zbytek 115)
368 ÷ 115 = 3 (zbytek 23)
115 ÷ 23 = 5 (zbytek 0)
NOD čísel 483 A 368 je tedy 23. To znamená, že tato čísla nemají společné dělitele kromě jedničky, a proto jsou vzájemně jednoduchá.
Vzájemná jednoduchost čísel 483 A 368 znamená, že nemají společné prvočísla, což je činí obzvláště zajímavými pro různé matematické a algebraické operace.
Prvočísla a jejich vlastnosti
Následující vlastnosti prvočísel lze použít k určení, zda jsou dvě čísla vzájemně jednoduchá:
- Vlastnost 1: Pokud jsou dvě čísla prvočísla, jsou vzájemně prvočísla.
- Vlastnost 2: Pokud dvě čísla nemají společné dělitele kromě 1, jsou vzájemně prvočísla.
Nyní se podíváme na čísla 483 a 368. Abychom dokázali, že jsou vzájemně jednoduché, musíme ověřit, že kromě 1 nemají společné dělitele.
Rozdělíme obě čísla na prvočísla:
- 483 = 3 * 7 * 23
- 368 = 2 * 2 * 2 * 2 * 23
Na základě rozkladu na prvočísla můžeme vidět, že čísla 483 a 368 mají pouze jeden společný prvočíslo - číslo 23. Ale aby byla čísla vzájemně jednoduchá, musí mít pouze společné dělitele hodnotou 1. Protože mají společný dělitel jiný než 1, můžeme konstatovat, že čísla 483 a 368 nejsou vzájemně jednoduchá.
Čísla 483 a 368 tedy nejsou vzájemně jednoduchá, protože mají společný prvočíslo 23.
Definice vzájemné jednoduchosti
Vzájemně prvočísla se nazývají dvě čísla, která nemají společné dělitele kromě jedničky. To znamená, že jejich největší společný dělitel je 1.
Chcete-li ověřit vzájemnou jednoduchost dvou čísel 483 A 368, musíte vypočítat jejich největší společný dělitel. Pokud se rovná 1, pak jsou čísla vzájemně jednoduchá, jinak nejsou vzájemně jednoduchá.
Tabulka níže ukazuje výpočet největšího společného dělitele (NOD) pro čísla 483 A 368:
| Dělič | 483 | 368 |
|---|---|---|
| 1 | 483 | 368 |
| 2 | 241.5 | 184 |
| 3 | 161 | 122.67 |
| 4 | 120.75 | 92 |
| 6 | 80.5 | 61.33 |
| 8 | 60.375 | 46 |
| 12 | 40.25 | 30.67 |
| 16 | 30.1875 | 23 |
| 23 | 21 | 16 |
| 46 | 10.5 | 8 |
| 69 | 7 | 5.333 |
| 92 | 5.25 | 4 |
| 115 | 4.1957 | 3.2 |
| 161 | 3 | 2.29 |
| 242 | 2.8264 | 1.52 |
| NOD | 1 |
Z tabulky je patrné, že největší společný dělitel pro čísla 483 a 368 je 1. Čísla 483 A 368 jsou tedy vzájemně jednoduchá.
Algoritmus hledání největšího společného dělitele
K nalezení NOD dvou čísel, jako je 483 A 368, lze použít Euclidovu metodu. Tento algoritmus spočívá v postupném dělení dvou čísel a nahrazení většího čísla zbytkem z dělení, dokud nebude dosaženo rovnosti zbytku nuly. Poslední nenulové číslo je největším společným dělitelem.
Aplikováním Euclidova algoritmu na čísla 483 A 368 získáme následující sekvenci:
- Vydělíme 483 368 a získáme zbytek 115.
- Vydělíme 368 115 a dostaneme zbytek 23.
- Vydělíme 115 23 a dostaneme zbytek 0.
Posledním nenulovým zůstatkem je tedy 23, takže největší společný dělitel čísel 483 a 368 je 23.
Vzhledem k tomu, že NOD čísel 483 A 368 je 23 a nod je jednotka, čísla 483 a 368 jsou vzájemně jednoduchá.
Rozdělení čísel na prvočísla
Číslo 483 lze rozdělit na faktory následovně: 483 = 3 * 7 * 23.. Prvočísla 483 jsou tedy čísla 3, 7 a 23.
Číslo 368 lze rozdělit na faktory následovně: 368 = 2 * 2 * 2 * 23. Prvočísla 368 jsou tedy čísla 2 a 23.
Naším úkolem je zjistit, zda mezi čísly 3, 7 a 23 existují společné dělitele s čísly 2 a 23. Protože jsou však čísla 2 a 7 prvočísla a nemají společné dělitele, lze vzájemnou jednoduchost mezi 483 a 368 tvrdit bez dalších kontrol.
Čísla 483 a 368 jsou tedy vzájemně prvočísla.
Srovnání rozkladu čísel
První číslo 483 lze rozložit následovně:
483 = 3 x 7 x 23
Druhé číslo 368 lze rozložit následovně:
368 = 2 x 2 x 2 x 2 x 23
Z rozkladu je patrné, že data čísel mají společný faktor 23. Nemají však jiné společné faktory. Čísla 483 A 368 jsou tedy skutečně vzájemně jednoduchá, protože jejich největší společný dělitel je 1.
Důkaz vzájemné jednoduchosti čísel 483 A 368
Pro důkaz vzájemné jednoduchosti čísel 483 A 368 použijeme algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele (NOD).
Podívejme se nejprve na číslo 483. Rozdělíme to na jednoduché faktory: 483 = 3 * 7 * 23..
Nyní se podíváme na číslo 368. Rozložíme ho na jednoduché faktory: 368 = 2 * 2 * 2 * 2 * 23.
Dostaneme, že NOD (483, 368) = 23.
Čísla 483 a 368 mají tedy společný dělitel 23. Vzájemná jednoduchost dvou čísel znamená, že jejich NoD je 1.
Potvrzení vzájemné jednoduchosti metodou NOD
NoD je největší číslo, které současně odděluje obě čísla beze zbytku.
Pro začátek najdeme NOD parametry 483 a 368. Pomocí Euklidova algoritmu provádíme následující kroky:
Krok 1: Vydělíme 483 368 a dostaneme 1 ve zbytku. Napíšeme: 483 = 1 * 368 + 115
Krok 2: Rozdělíme 368 na 115, dostaneme 3 na zbytek. Poznámka: 368 = 3 * 115 + 23
Krok 3: Vydělíme 115 23 a dostaneme 5 ve zbytku. Poznámka: 115 = 5 * 23 + 0
Takže poslední nenulový zbytek je 23. Tedy NOD (483, 368) = 23.
Protože NoD je 23 a nod čísel je odlišný od jednotky, čísla 483 a 368 tedy nejsou vzájemně jednoduchá.
Potvrdili jsme tedy, že čísla 483 A 368 nejsou vzájemně jednoduchá, na základě metody nalezení NOD.