Geometrický důkaz rovnosti diagonály kosočtverce na její straně.

Kosočtverec je geometrický tvar, který má zvláštní vlastnosti. Jednou z těchto vlastností je rovnost diagonálů kosočtverce. Ale jak lze tuto rovnost prokázat? V tomto článku se podíváme na jeden ze způsobů, jak dokázat diagonály kosočtverce na základě jeho vlastností a definic.

Nejprve se podívejme na definici kosočtverce. Kosočtverec je čtyřúhelník, jehož všechny strany jsou si rovny. Kosočtverec má také vlastnost úhlopříček, podle které jsou diagonály kosočtverce kolmé a rozdělují je na dva stejné trojúhelníky.

Nyní, abychom dokázali, že diagonály kosočtverce jsou si rovny, použijeme tento fakt: v kolmých trojúhelnících jsou přepony stejné. Podle této skutečnosti lze konstatovat, že přepony tvořené diagonálami kosočtverce trojúhelníků jsou stejné.

Geometrické vlastnosti kosočtverce

1. Všechny rohy kosočtverce jsou si rovny. Každý úhel kosočtverce je 90 stupňů, to znamená, že Kosočtverec je obdélníkový.
2. Diagonály kosočtverce jsou na sebe kolmé. To znamená, že úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
3. Diagonály kosočtverce jej dělí na čtyři stejné trojúhelníky. Každý trojúhelník má jednu stranu rovnající se straně kosočtverce.
4. Diagonály kosočtverce jsou si rovny. Každá úhlopříčka kosočtverce je tedy vzájemnou bisektrikou úhlu kosočtverce.

Tyto vlastnosti nám pomáhají dokázat, že úhlopříčka kosočtverce se rovná její straně, protože můžeme použít vlastnosti kolmých úhlopříček a rovnat úhlopříčky kosočtverce.

Rovnost diagonálů kosočtverce

Dokázat rovnoprávnost diagonálů kosočtverce lze pomocí vlastností této postavy.

1. Všechny strany kosočtverce jsou si rovny, takže obdélníkový trojúhelník tvořený polovinou úhlopříčky a polovinou strany je rovnoramenný.

2. Pythagorova věta pro rovnoramenný trojúhelník je následující: přepona čtverec se rovná součtu čtverců katetů.

3. Polovina strany kosočtverce je jeden katetr, polovina úhlopříčky je druhý katetr a úhlopříčka je přepona.

4. Čtverec úhlopříčky se tedy rovná součtu čtverců poloviny strany a poloviny úhlopříčky.

5. Pokud označíte stranu kosočtverce jako s a úhlopříčka jako d pak získáme vzorec pro důkaz rovnosti: d 2 = s 2 + (s/2) 2 .

6. Když změníme vzorec, dostaneme: d 2 = s 2 + s 2 /4

7. Zjednodušením výrazu získáme: d 2 = (4s 2 + s 2 )/4

8. Dále zjednodušíme další: d 2 = 5s 2 /4

9. Nakonec vynásobíme obě části rovnice 4/5, abyste se zbavili zlomku: (4/5)d 2 = s 2

10. Výsledná rovnice ukazuje, že čtverec úhlopříčky kosočtverce se rovná čtverci jeho strany.

Tímto způsobem jsme dokázali, že diagonály kosočtverce jsou rovnocenné jeho straně.

Ukažte rovnost úhlopříček

Abychom dokázali, že úhlopříčka kosočtverce se rovná její straně, můžeme použít vlastnosti kosočtverce.

Krok 1: Zvažte diamant ABCD, kde AB, BC, CD, DA jsou jeho strany A AC a BD jsou jeho úhlopříčky.

• Dokážeme, že trojúhelníky ABC a ADC jsou stejné.
• Podle kosočtverce jsou si všechny strany rovny.
• Takže AB = BC = CD = DA.
• Protože trojúhelníky ABC a ADC jsou stejné, pak jsou jejich strany stejné.
• Takže AC = AC a BD = BD.

Krok 2: Protože trojúhelníky ABC a ADC mají stejné boky a společnou stranu AC, jsou to rovnoramenné trojúhelníky.

Krok 3: Nyní použijeme vlastnost rovnoramenného trojúhelníku.

• V rovnoramenném trojúhelníku je medián vedený k základně bissectris a výška.
• Vzhledem k tomu, že AC a BD jsou mediány rovnoramenných trojúhelníků ABC a ADC, jsou to jejich bissectrys a výšky.
• Bissektriky a výšky jsou si rovny.
• Takže AC = BD.

Krok 4: Z kroku 1 již víme, že AB = BC = CD = DA. Také z kroku 3 jsme zjistili, že AC = BD.

Důkaz podle definice kosočtverce

1. Vezměte si diamant ABCD.

2. Nakreslíme úhlopříčky AC a BD.

3. Nechť je bod E průsečíkem úhlopříček.

4. Zvažte trojúhelníky ABE a ADE:

• AE = AE (společná strana)
• AB = AD (všechny strany kosočtverce jsou si rovny)
• Úhel EAB = úhel EAD (diagonály kosočtverce jej dělí na stejné úhly)

Trojúhelníky ABE a ADE jsou tedy rovnoramenné.

5. V důsledku toho se u trojúhelníku ADE rovná boční strana DE základně AD a u trojúhelníku ABE se boční strana BE rovná základně AB.

6. Na druhé straně trojúhelníku ABE se boční strana AE rovná základně AB a u trojúhelníku ADE se boční strana AE rovná základně AD.

7. Z rovnosti AE = AE vyplývá, že báze trojúhelníků ABE a ADE jsou si rovny.

8. Takže DE = AB, což znamená, že úhlopříčka kosočtverce je rovna straně.

Podmínky rovnosti úhlopříček

Aby bylo možné prokázat, že úhlopříčka kosočtverce je rovná straně, je nutné splnit určité podmínky. Podívejme se na ty hlavní:

1. Kosočtverec je čtverec.

V tomto případě jsou všechny strany kosočtverce a její úhlopříčky stejné. Úhlopříčka kosočtverce by se tedy rovnala straně.

2. Kosočtverec je obdélník.

Pokud má diamant jeden z úhlů 90 stupňů, stane se obdélníkem. V tomto případě jsou úhlopříčky stejné, což znamená rovnoprávnost úhlopříčky kosočtverce na straně.

3. Kosočtverec je svévolný.

Pokud kosočtverec nemá žádný úhel rovný 90 stupňům a jeho strany mají stejnou délku, pak jej diagonály kosočtverce rozdělí na 4 stejné trojúhelníky. Přitom každá úhlopříčka spolu s jednou stranou kosočtverce tvoří pravoúhlý trojúhelník. V každém pravoúhlém trojúhelníku se tedy jeden katetr rovná straně kosočtverce a přepona diagonály kosočtverce. Úhlopříčka kosočtverce by se tedy rovnala straně.

Při splnění těchto podmínek je tedy možné prokázat, že úhlopříčka kosočtverce se rovná její straně.

Vlastnosti paralelogramu

Základní vlastnosti paralelogramu:

Díky svým vlastnostem má paralelogram řadu zajímavých charakteristik a je základem pro studium složitějších geometrických tvarů, jako je obdélník, kosočtverec a čtverec.

Rovnost stran kosočtverce

K prokázání rovnoprávnosti diagonálů kosočtverce stačí využít vlastnosti tohoto tvaru. Zvažte diamant ABCD:

• Nechť AB = BC = CD = DA = a je délka strany kosočtverce.
• Popište obvod kolem diamantu ABCD.
• Nechť je bod o středem tohoto kruhu
• Stavíme úhlopříčky AC a BD, které se protínají v bodě O.

Podle vlastností kružnice je poloměr R kružnice poloviční úhlopříčka, takže AO = R a OC = R.

Podívejme se na trojúhelník AOC. Je rovnoramenný, protože AO = OC = R a úhel AOC je 90 stupňů. Takže úhel OAC je také 90 stupňů.

Podobně se podíváme na trojúhelník BOC. Je také rovnoramenný a jeho úhel OBC je 90 stupňů.

Uhelné společnosti OAC a OBC jsou si tedy rovny.

Pomocí věty o stejných úhlech při podélných a příčných průsečících lze konstatovat, že trojúhelníky OAC a OBC jsou stejné, protože strany OA a OB jsou stejné, úhly OAC a OBC jsou stejné a úhly AOC a BOC jsou stejné.

Z rovnosti trojúhelníků vyplývá, že AC = BC. Úhlopříčky diamantu ABCD jsou tedy stejné a rovnají se délce strany kosočtverce.

Vztah mezi diagonálami a stranami kosočtverce

Při zvažování vazby mezi diagonálami a stranami kosočtverce lze použít Pythagorovu větu. Za tímto účelem zvažte jeden z trojúhelníků tvořených diagonálami a stranami kosočtverce.

Označíme stranu kosočtverce jako a a úhlopříčky jako d1 a d2. Podle Pythagorovy věty se součet čtverců katetů (stran kosočtverce) rovná čtverci přepony (úhlopříčky):

Podobně lze zvážit druhý trojúhelník a získat:

Tímto způsobem se ukazuje, že čtverec strany kosočtverce je polovina čtverce každé jeho úhlopříčky. Z toho vyplývá, že úhlopříčka kosočtverce se rovná čtvercové kořeni z dvojnásobné plochy jednoho z trojúhelníků kosočtverce.

Když znáte tuto vlastnost, můžete dokázat, že diagonál kosočtverce je roven jeho straně. K tomu je třeba využít vlastnost kosočtverce, že všechny jeho strany jsou si rovny. Když do vzorce vložíme hodnotu strany místo úhlopříčky, dostaneme:

Úhlopříčka kosočtverce se tedy rovná jeho straně, což bylo nutné prokázat.

Důsledek rovnosti úhlopříčky a strany kosočtverce

Prokážeme tuto skutečnost. Zvažte diamant ABCD, ve kterém je strana AB rovna AC. Nakreslíme diagonál BD diamantu ABCD, který bude protínat strany AD a BC v bodech E A F.

Z vlastností kosočtverce získáme, že úhel DEB se rovná úhlu DEF, protože kosočtverec ABCD je kosočtverec svislý. Podobně bude úhel DFB roven úhlu DFB.

Tímto způsobem získáme, že trojúhelníky DEB a DEF jsou rovnoramenné, protože mají dva stejné úhly: DEB=DEF a DFB=DFB.

Protože v rovnoramenném trojúhelníku jsou strany stejné, máme EB=EF.

Nyní se podíváme na trojúhelníky EBC a EDF. V těchto trojúhelnících je EB=EF a také EC=ED, protože se jedná o segmenty-strany diamantu ABCD. Trojúhelníky EBC a EDF jsou tedy stejné na straně-úhel-strana (SÚS). Takže mají stejné úhly: EBC=EDF a ECD = EFD.

To znamená, že trojúhelník EDC má úhly DEB a EDB stejné. A také součet úhlů trojúhelníku EDC je 180 stupňů. Proto lze říci, že v diamantu ABCD platí: úhel DAB se rovná úhlu BCD, a proto jsou rovny 90 stupňům.

V kosočtverci ABCD je tedy úhlopříčka BD stranou, protože v kosočtverci jsou všechny strany stejné a je prokázán důsledek rovnosti úhlopříčky a strany kosočtverce.

Užitečné vzorce pro výpočet úhlopříček a stran kosočtverce

kde d - délka úhlopříčky kosočtverce, a a - délka jedné strany kosočtverce.

Diagonál kosočtverce procházející jeho rohem, je také důležitým prvkem kosočtverce. Jeho délku lze vypočítat podle vzorce:

kde d₁ - délka úhlopříčky procházející rohem kosočtverce a a - délka jedné strany kosočtverce.

Diagonály kosočtverce také spolu souvisí. Pokud je známa délka jedné úhlopříčky, lze najít délku druhé diagonály kosočtverce podle vzorce:

kde d₂ - délka druhé diagonály kosočtverce a a - délka jedné strany kosočtverce.

Délka strany kosočtverce na druhé straně lze nalézt, pokud je známa délka jakékoli jeho úhlopříčky. K tomu se používá vzorec:

kde a - délka strany kosočtverce, a d - délka diagonály kosočtverce.