V geometrii se oblouk nazývá část kružnice ohraničená dvěma body na kružnici. Délka oblouku je vzdálenost kružnice mezi těmito dvěma body. Někdy je nutné určit délku oblouku pomocí informací pouze o délce druhého oblouku.
K tomu existuje speciální vzorec, který umožňuje vypočítat délku jednoho oblouku přes délku druhého. Tento vzorec je založen na proporcionalitě délek oblouků k délkám kružnic, na kterých se nacházejí. Pokud je známa délka menšího oblouku a délka obvodu, který mu odpovídá, lze vypočítat délku delšího oblouku pomocí proporcí.
Podívejme se na příklad. Ať máme dva oblouky na obvodu poloměru R. délka prvního oblouku je L1 a délka druhého oblouku je L2. Pak bude délka prvního kružnice 2πr a délka druhého kružnice 2πR2. Když znáte poměr mezi délkami oblouků a kružnic, můžete zapsat následující rovnici:
L1 / (2πR1) = L2 / (2πR2)
Vyřešením této rovnice vzhledem k L2 najdeme délku druhého oblouku přes délku prvního oblouku a poloměry příslušných kružnic. Tento jednoduchý matematický přístup pomáhá vyhnout se zbytečným výpočtům a usnadňuje nalezení délky oblouku, když jsou k dispozici pouze informace o délce menšího oblouku.
Je třeba poznamenat, že vzorec pro nalezení délky oblouku přes délku menšího oblouku funguje pouze tehdy, pokud jde o oblouky na obvodu jednoho poloměru. Kromě toho je při použití tohoto vzorce nutné vzít v úvahu měrné jednotky a správnost uvedených hodnot délek oblouků a poloměrů.
Jak najdu délku oblouku přes délku menšího oblouku?
Předpokládejme, že máme kružnici s poloměrem R a dva oblouky na tomto kružnici. První oblouk je dlouhý l1 a druhý oblouk je l2, přičemž l1 < l2. Chcete-li najít délku většího oblouku (l2), můžete použít následující vzorec:
Tento vzorec je založen na skutečnosti, že délka kružnice je 2πr, kde R je poloměr kružnice. Z tohoto vzorce odečteme délku menšího oblouku (l1), abychom našli délku většího oblouku (l2).
Podívejme se na příklad. Měřením jsme získali délku menšího oblouku rovných 10 cm. Abychom našli délku většího oblouku, můžeme použít vzorec:
Délka většího oblouku na tomto obvodu je tedy přibližně 21.42 cm.
Pomocí vzorce pro nalezení délky oblouku přes délku menšího oblouku můžete snadno vypočítat délku jakéhokoli oblouku na obvodu. Je důležité si uvědomit, že poloměr kružnice a délka oblouku musí být ve stejných měrných jednotkách.
Definice pojmu "délka oblouku"
Délka oblouku hraje důležitou roli v různých oblastech, včetně geometrie, fyziky, inženýrství a dalších věd. Například v aplikaci částicové fyziky lze délku oblouku použít k určení dráhy částice v prostoru a v architektuře k výpočtu obvodové plochy nebo elipsy.
Nechte obvod poloměru 5 cm a středovým úhlem 60 stupňů. Chcete-li najít délku oblouku daného kružnice, můžete použít vzorec:
Délka oblouku = (středový úhel / 360) * 2 * pí * poloměr
V tomto případě vložením hodnot do vzorce:
Délka oblouku = (60 / 360) * 2 * 3.14 * 5 = 5.24 viz
Délka oblouku tohoto obvodu je tedy rovna 5.24 cm.
Podrobné vysvětlení algoritmu pro výpočet délky oblouku přes délku menšího oblouku
1. Určete délku obvodu jako celku pomocí vzorce:
Délka kruhu = 2π * poloměr
Zde je π (pi) matematická konstanta přibližně 3.14159 a poloměr je vzdálenost od středu kružnice k její hranici.
2. Najděte poměr menšího oblouku k úplnému obvodu pomocí vzorce:
Poměr menšího oblouku = Délka menšího oblouku / délka kružnice
Zde je délka menšího oblouku známou veličinou, kterou je třeba použít k výpočtu délky delšího oblouku.
3. Pomocí nalezeného poměru najděte délku delšího oblouku vynásobením poměru délkou obvodu:
Délka delšího oblouku = poměr menšího oblouku * délka kružnice
Nyní pomocí tohoto algoritmu můžeme přesně vypočítat délku oblouku na základě délky menšího oblouku a úplného obvodu.
Příklady výpočtů délky oblouku přes délku menšího oblouku
Pro výpočet délky oblouku přes délku menšího oblouku je nutné znát poloměr kružnice a úhel popsaný tímto obloukem. Podívejme se na několik příkladů výpočtů:
Příklad 1:
Nechť je dán obvod s poloměrem 6 cm a úhel popsaný obloukem je 60 stupňů. Najdeme délku oblouku přes délku menšího oblouku. K tomu nejprve najdeme délku menšího oblouku pomocí vzorce:
Délka menšího oblouku = (úhel ve stupních ÷ 360) × (2 × P × poloměr)
Délka menšího oblouku = (60 ÷ 360) × (2 × 3.14 × 6)
Délka menšího oblouku = 0.1667 × 37.68
Délka menšího oblouku ≈ 6.28 cm
Nyní, když známe délku menšího oblouku, můžeme najít délku úplného oblouku pomocí poměru:
Délka celého oblouku ÷ délka menšího oblouku = 360 ÷ úhel ve stupních
Délka celého oblouku ÷ 6.28 = 360 ÷ 60
Délka celého oblouku = 6.28 × 6
Délka celého oblouku je 37.68 cm
Příklad 2:
Nechť je dán obvod s poloměrem 8 m a úhel popsaný obloukem je 120 stupňů. Najdeme délku oblouku přes délku menšího oblouku. K tomu nejprve najdeme délku menšího oblouku pomocí vzorce:
Délka menšího oblouku = (úhel ve stupních ÷ 360) × (2 × P × poloměr)
Délka menšího oblouku = (120 ÷ 360) × (2 × 3.14 × 8)
Délka menšího oblouku = 0.3333 × 50.24
Délka menšího oblouku je 16.75 m
Nyní, když známe délku menšího oblouku, můžeme najít délku úplného oblouku pomocí poměru:
Délka celého oblouku ÷ délka menšího oblouku = 360 ÷ úhel ve stupních
Délka celého oblouku ÷ 16.75 = 360 ÷ 120
Délka celého oblouku = 16.75 × 3
Délka celého oblouku je 50.24 m
V těchto příkladech jsme tedy našli délku oblouku přes délku menšího oblouku pomocí poloměru kružnice a úhlu popsaného obloukem. Tato metoda výpočtu může být použita pro všechny obvodové oblouky, pokud jsou známy příslušné hodnoty.