Parabola - je to křivka druhého řádu, která je geometrickým místem bodů, které se rovnají zaostření a pevné přímce, nazývané ředitelkou. Větve paraboly a jejich vrcholy jsou velmi důležité pro pochopení a analýzu této křivky. V tomto článku se podíváme na několik metod určování vrcholů větve paraboly.
První metoda je založena na algebraickém vzorci paraboly. Pokud je dána rovnice paraboly druhu y = ax^2 + bx + c vrchol větve paraboly lze nalézt podle vzorce x = -b/2a. Tento vzorec nám umožňuje určit vodorovnou souřadnici vrcholu paraboly.
Druhá metoda je založena na grafickém zobrazení paraboly. Můžeme vytvořit graf paraboly na souřadnicové rovině a vizuálně určit vrchol paraboly. Vrchol bude nejvyšším nebo nejnižším bodem grafu. K určení vrcholu můžeme také použít trojúhelníkový tvar paraboly.
Geometrická definice vrcholů větve paraboly
Chcete-li geometricky určit vrchol větve paraboly, musíte nejprve najít ohnisko a režii dané paraboly. K tomu se používá následující metoda:
- Na rovině označíme libovolné body A A B.
- Z bodu A přejdeme kolmicí k přímce AB.
- Na této kolmici vybereme bod F, který bude sloužit jako ohnisko paraboly.
- Nakreslíme přímku, která prochází bodem F A bodem B, a označíme ji jako ředitelku.
Po definování ohniska a ředitele paraboly je vrchol větve paraboly v průsečíku její osy symetrie a přímky procházející ohniskem a kolmou ředitelkou.
Geometrickou definicí vrcholů větve paraboly je tedy průsečík osy symetrie a přímky procházející ohniskem a kolmou diorektrikou.
a) zaostřovací vzdálenost
K určení vrcholů větve paraboly lze použít metodu založenou na výpočtu vzdálenosti ohniska.
Větev paraboly je graf kvadratické funkce dané rovnicí y = ax^2 + bx + c, kde a, b A c jsou konstantní koeficienty. Ohnisko paraboly je určeno rovnicí x = - b / 2A.
Vzdálenost od bodu k větvi paraboly k ohnisku lze nalézt pomocí vzorce:
d = sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2),
kde (x_0, y_0) jsou souřadnice ohniska paraboly a (x, y) jsou souřadnice bodu na větvi paraboly.
Jakmile najdete zaostřenou vzdálenost pro několik bodů na větve paraboly, můžete určit, kde jsou vrcholy paraboly. Vrchol paraboly bude v bodě, jehož zaostřovací vzdálenost bude minimální.
Pomocí této metody je možné rychle a přesně určit vrcholy větve paraboly, aniž byste museli řešit rovnici kvadratické funkce.
| x | y | Zaostřovací vzdálenost |
|---|---|---|
| -2 | 4 | 2 |
| -1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
Absces a rezidenční vrchol
K určení absces a ordinací vrcholu paraboly existuje několik metod.
Jedním z nich je použití vzorce: x = -b / (2a), kde x - abscesový vrchol, a a b - koeficienty paraboly. Řád vrcholu je určen substitucí nalezené abscesy do rovnice paraboly.
Další metodou je použití geometrického přístupu. Parabola je symetrická relativně rovně procházející vrcholem paraboly. Absces vrcholu se tedy shoduje se souřadnicí přímé symetrie. Ordinát vrcholu lze nalézt substitucí abscesy vrcholu do rovnice paraboly.
Algebraická definice vrcholů větve paraboly
Vrchol větve paraboly má souřadnice (h, k), kde h je vrchol abscesu a k je řád vrcholu. Algebraický způsob určování vrcholů je založen na vzorci-b/(2A) pro hodnotu h a substituci této hodnoty do rovnice paraboly pro definici k.
Kroky k určení souřadnic vrcholu větve paraboly:
- Najděte koeficient a, b A c v rovnici paraboly.
- Vypočítejte hodnotu h pomocí vzorce-b/(2a).
- Nahraďte výslednou hodnotu h do rovnice paraboly a najděte hodnotu k.
- Výsledné hodnoty h a k jsou souřadnice vrcholu větve paraboly.
Například rovnice paraboly y = 2x^2 - 4x + 3 má koeficienty a = 2, b = -4 a c = 3. Použitím algebraického přístupu můžeme vypočítat hodnotu h následovně:
Poté vložíme hodnotu h do rovnice:
k = 2*(1)^2 - 4*(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1
Vrchol větve paraboly pro tuto rovnici je tedy bod (1, 1).