Kružnice - je to geometrický obrazec složený ze všech bodů v rovině, které se rovnají jednomu pevnému bodu zvanému střed kružnice. Vepsaný úhel v kružnici je úhel mezi chordou (úsečkou spojující dva body kružnice) a obloukem opírajícím se o tento chord.
Chcete-li najít vepsaný úhel, můžete použít stupňové měřítko oblouku. Stupeň je jednotka měření úhlů, která se rovná 1/360 části plné otáčky. Pro nalezení vepsaného úhlu v kružnici ve stupnici oblouku je nutné znát délku oblouku a poloměr kružnice.
Vzorec pro nalezení vepsaného úhlu ve stupnici oblouku:
Úhel (ve stupních) = (délka oblouku / délka obvodu) * 360.
Délka obvodu se vypočítá podle vzorce:
Délka kruhu = 2 * π * poloměr.
Kde π (pí) je matematická konstanta, jejíž přibližná hodnota je 3,14.
Pokud je tedy délka oblouku a poloměr kružnice, lze snadno najít vložený úhel ve stupnici oblouku pomocí uvedených vzorců. To umožňuje pohodlné a přesné měření úhlu na základě stupňů a velikostí obvodu.
Vepsaný úhel v obvodu
Pro nalezení vepsaného úhlu v kružnici ve stupnici oblouku je třeba postupovat několika kroky:
- Vypočítejte délku oblouku, který pokrývá vepsaný úhel. K tomu se používá vzorec délky oblouku: délka oblouku = (stupňová míra oblouku / 360) * 2 * poloměr kruhu * π.
- Najděte poloměr kružnice podle vzorce poloměr obvodu = délka oblouku / (stupňová míra oblouku / 360 * 2 * π).
- Pomocí nalezeného poloměru kružnice Vypočítejte úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jeho strany procházejí dvěma body kružnice. K tomu lze použít trigonometrické funkce, jako je sinus a kosinus.
Při znalosti stupňové míry oblouku lze snadno najít zapadlé úhly v kružnicích a použít je k řešení různých problémů v geometrii a fyzice.
Jak najdete úhel v obvodu?
Úhel vepsaný do kružnice je tvořen dvěma paprsky vycházejícími ze středu kružnice a incidentními na oblouku kružnice. Pro výpočet vepsaného úhlu ve stupnici oblouku je třeba postupovat podle následujících kroků:
- Určete délku oblouku obvodu, který pokrývá vepsaný úhel.
- Najděte délku kruhu. K tomu použijte vzorec: délka kružnice = 2πR, kde R je poloměr kružnice.
- Najděte poměr délky oblouku k délce obvodu: poměr = délka oblouku / délka kružnice.
- Vynásobte poměr 360° a najděte velikost úhlu stupněm.
Pokud máte například obvodový oblouk o délce 10 cm a poloměr kružnice je 5 cm, pak pro nalezení vepsaného úhlu:
1) Délka oblouku = 10 cm
2) Délka kružnice = 2π * 5 cm = 10π cm
3) poměr = 10 cm / (10π cm) ≈ 0.318
4) úhel h 0.318 * 360 ° h 114.5°
V tomto případě je úhel pro tento příklad přibližně 114,5°.
Stupňová míra oblouku a úhlu
V matematice jsou úhel a oblouk kružnice vzájemně propojeny jejich stupňovou mírou. Stupňová míra oblouku kružnice ukazuje, jakou část kružnice tento oblouk tvoří.
Úhel je odchylka mezi dvěma paprsky nebo segmenty přímky a jeho stupňová míra ukazuje velikost této odchylky.
Vložený úhel neboli úhel vepsaný do kružnice je úhel, jehož vrchol je na kružnici, zatímco strany daného úhlu jsou oblouky kružnice.
Je velmi důležité pochopit rozdíl mezi stupňovou mírou obvodu oblouku a stupňovou mírou vepsaného úhlu. Stupňová míra úhlu je vyjádřena jednoduše ve stupních ( ° ) a stupňová míra oblouku je označena číslem, které ukazuje, kolik procent tvoří daný oblouk z celého obvodu.
Nalezením stupňové míry oblouku kružnice můžeme najít stupňovou míru vepsaného úhlu pomocí následujícího vzorce:
Stupňová míra vepsaného úhlu = (stupňová míra oblouku / 2)
Abychom tedy našli stupňovou míru vepsaného úhlu, musíme rozdělit stupňovou míru oblouku na 2.
Poměr stupňové míry oblouku a úhlu
Poměr mezi stupňovou mírou oblouku a úhlem lze vyjádřit následovně: úhel vytvořený obloukem kružnice je polovina stupňové míry oblouku.
Jinými slovy, pokud je stupňová míra oblouku α stupňů, pak úhel vytvořený tímto obloukem bude α/2 stupně.
Pokud je například stupňová míra oblouku 90 stupňů, pak úhel vytvořený tímto obloukem bude 45 stupňů.
Tento poměr je zásadní v geometrii a umožňuje propojit stupňovou míru oblouku s úhlem, což je důležité při řešení různých problémů souvisejících s kružnicemi a úhly.
Výpočet úhlu podle stupně oblouku
Úhel vepsaný do obvodu ve stupnici oblouku lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:
| Formule | Popis |
|---|---|
| Úhel = (Oblouk / délka kružnice) * 360 | Výpočet úhlu ve stupních |
V tomto vzorci je oblouk stupňovou mírou oblouku a délka kružnice je celkovou délkou kružnice.
Nechť je uveden obvod s poloměrem 10 jednotek a stupňová míra oblouku je 90 stupňů. Pro výpočet zadaného úhlu je nutné znát délku kružnice. Délka kružnice se vypočítá podle vzorce: délka = 2 * P * poloměr.
V tomto případě bude délka obvodu rovna: délka = 2 * P * 10 = 20p.
Pomocí vzorce pro výpočet úhlu získáme:
Úhel = (90 / (20P)) * 360 ~ 51,43 stupňů.
Vepsaný úhel do obvodu s poloměrem 10 jednotek a stupněm oblouku 90 stupňů je tedy přibližně 51,43 stupňů.
Příklady výpočtu úhlu vepsaného do obvodu
Podívejme se na několik příkladů pro úplnější pochopení procesu výpočtu úhlu vepsaného do kružnice.
- Příklad 1: Nechte nás mít obvod o poloměru 5 cm a Oblouk se stupňovou mírou 60°. Chcete-li najít úhel vepsaný do obvodu, musíte použít vzorec: Úhel = (stupňová míra oblouku / 360°) * 2 * π * poloměr V našem případě: úhel = (60 / 360) * 2 * 3.14 * 5 = 1.57 radián nebo asi 90°
- Příklad 2: Ať máme kružnici o poloměru 8 cm a Oblouk o délce 10 cm. pro výpočet úhlu zapadlého do kružnice použijeme vzorec: Úhel = délka oblouku / poloměr V našem případě: Úhel = 10 / 8 = 1.25 radián nebo asi 71.57°
- Příklad 3: Ať máme kružnici o poloměru 6 cm a stupňová míra úhlu vepsaného do kružnice je 120°. Chcete-li najít délku oblouku, použijte vzorec: Délka oblouku = (stupňová míra úhlu / 360°) * 2 * π * poloměr V našem případě: délka oblouku = (120 / 360) * 2 * 3.14 * 6 = 12.57 viz
To je jen několik příkladů pro názornou představu procesu výpočtu úhlu vepsaného do kružnice. V případě potřeby můžete vždy použít příslušné vzorce pro přesnější výsledky výpočtu.
Jak používat stupňové měřítko oblouku k nalezení úhlu
Úhel vepsaný do kružnice je úhel, jehož vrchol je na kružnici a jeho strany jsou hordy, které spojují vrchol rohu s dalšími body na kružnici. Vepsaný úhel a stupňová míra oblouku spolu úzce souvisí.
Chcete-li najít vepsaný úhel ve stupnici oblouku, postupujte podle těchto kroků:
| Krok 1: | Určete stupňové měřítko oblouku. To může být uvedeno v podmínkách úkolu nebo počítáno známými vzorci. |
| Krok 2: | Rozdělte stupňovou míru oblouku na 2, abyste našli stupňovou míru poloviny úhlu. |
| Krok 3: | Pomocí vzorce pro zadaný úhel Vypočítejte samotný úhel. Vzorec zní: úhel = (stupňová míra poloviny úhlu) × 2. |
Například, pokud je stupňová míra oblouku 60 stupňů, pak míra stupně poloviny úhlu bude 30 stupňů. Umístěním hodnot do vzorce zadaného úhlu získáme: úhel = 30 × 2 = 60 stupňů.
Použití stupňové míry oblouku tedy usnadňuje nalezení vhodného úhlu v obvodu. Když znáte stupňové měřítko oblouku, můžete najít stupňové měřítko poloviny úhlu a poté vypočítat samotný úhel pomocí vzorce vepsaného úhlu.
Úlohy Hledání úhlů vepsaných do obvodu
1. Hledání úhlu mezi hordou a obloukem
Jedním z klasických úkolů najít úhel vepsaný do kružnice je najít úhel mezi chordou a obloukem. K vyřešení tohoto problému se používá věta o velikosti úhlu vepsaného do kružnice, která se opírá o stejný chord. Podle této věty je úhel mezi chordou a obloukem ohraničeným tímto chordem poloviční velikosti úhlu vytvořeného tímto obloukem ve středu kružnice.
2. Nalezení úhlu mezi dvěma hordy vycházejícími z jednoho bodu
Dalším zajímavým úkolem pro nalezení úhlů vepsaných do kružnice je nalezení úhlů mezi dvěma hordy vycházejícími z jednoho bodu na kružnici. K vyřešení tohoto problému je nutné použít větu o úhlu vytvořeném dvěma protínajícími se chordami v kružnici. Podle této věty je úhel mezi dvěma hordy vycházejícími z jednoho bodu na kružnici poloviční než součet měření oblouků vytvořených těmito hordy.
3. Hledání úhlu mezi chordou a tečnou
Často se také vyskytují úkoly najít úhel mezi chordou a tečnou k obvodu. K vyřešení tohoto problému se používá věta o velikosti úhlu tvořeného chordou a tečnou nakreslenou ze společného bodu na kružnici. Podle této věty je úhel mezi chordou a tečnou polovinou měření oblouku, který se opírá o tento chord.
Znalost vět o rozměrech úhlů vepsaných do kružnice umožňuje řešit různé problémy v geometrii. Doufáme, že vám tento článek pomůže lépe porozumět a uvést tyto věty do praxe.