Matematika byla a stále je jednou z nejpřísnějších a nejpřesnějších věd. Jedním z jejích hlavních úkolů je dokázat různá tvrzení, včetně rovnosti. Tento článek se bude zabývat důkazem rovnosti v jakémkoli přirozeném n, který je zásadní pro algebru a analýzu.
Nejprve je třeba pochopit, co je rovnost v matematice. Rovnost je vztah mezi dvěma objekty, které se zcela shodují. V případě číselných hodnot to znamená, že dvě čísla mají stejnou hodnotu. Můžeme například říci, že 2 + 2 = 4, protože dva plus dva nám dávají čtyři.
Nyní se podívejme na důkaz rovnosti v jakémkoli přirozeném n. přirozené číslo je kladné celé číslo počínaje jedním. Důkaz rovnosti je v tomto případě založen na matematické indukci. Indukce je důkazní metoda, která je založena na tom, že pokud tvrzení platí pro určité číslo n, platí to i pro další číslo (n + 1).
Výchozí data
Abychom prokázali rovnost v jakémkoli přirozeném n, Vezměme si následující zdrojová data:
1. n je přirozené číslo.
2. a-libovolné číslo nezávislé na n.
3. b je libovolné číslo nezávislé na n.
4. Výraz A (n) = A * n + b.
První důkazní krok
Prvním krokem v tomto důkazu je stanovení základního případu. Základní případ je hodnota n, pro kterou musí být tvrzení pravdivé. Obvykle je vybráno nejmenší přirozené číslo z množiny přirozených čísel, aby se ukázalo, že tvrzení je skutečně provedeno pro všechny ostatní.
Řekněme například, že chceme prokázat rovnost vzorce N^2-n A n(n - 1) v jakémkoli přirozeném n. jako základní případ můžeme vzít n = 1.
Vložením n = 1 do obou vzorců získáme následující:
Pro první Formuli: 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Pro druhý vzorec: 1(1 - 1) = 1 * 0 = 0
Jak vidíme, oba vzorce poskytují stejný výsledek jako 0 při n = 1. To znamená základní případ.
Prvním krokem důkazu je tedy stanovení základního případu, který ukazuje, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n. to je základem pro další důkaz rovnosti v jakémkoli přirozeném n.
Druhý krok důkazu
Pro důkaz rovnosti v jakémkoli přirozeném n použijeme metodu matematické indukce. Druhým krokem tohoto důkazu je předpoklad, že rovnost se provádí pro určitou konkrétní hodnotu n=k. dále musíme ukázat, že rovnost se provádí i pro n=k+1.
Předpokládejme, že rovnost se provádí pro n=k, to znamená, že součet všech čísel od 1 do K je včetně K*(K+1)/2. Nyní zvažte součet všech čísel od 1 do K+1 včetně:
1 + 2 + 3 + . + k + (k+1) =
Podle indukčního předpokladu se součet čísel od 1 do k rovná k*(K+1)/2, takže jej lze nahradit:
k*(k+1)/2 + (k+1) =
(k^2 + k + 2k + 2)/2 =
Přinášíme podobné slogany:
(k^2 + 3k + 2)/2 =
Vidíme, že výraz (k^2 + 3k + 2) lze představit jako dílo:
(k+1)*(k+2)/2 =
Takže jsme ukázali, že rovnost je splněna i pro n=k+1. Tím končí druhý důkazní krok.
Třetí důkazní krok
Ve třetím kroku důkazu zvažte řadu n = 1.
Za tímto účelem nastražíme n = 1 do výrazu, který zvažujeme, a ujistíme se o jeho věrnosti.
Substituce poskytuje následující:
| (1 + 1) 3 - (1 3 + 3 * 1 2 * 1) | = 2 3 - (1 + 3 * 1) | = 8 - (1 + 3) | = 8 - 4 | = 4 |
Při n = 1 se tedy provádí rovnost.
Zkusme také vypočítat výraz pro jiné hodnoty n A přesvědčme se o jeho spravedlnosti:
| n | (n + 1) 3 - (n 3 + 3n 2 * 1) |
| 2 | (2 + 1) 3 - (2 3 + 3 * 2 2 * 1) |
| 3 | (3 + 1) 3 - (3 3 + 3 * 3 2 * 1) |
| . | . |
Vidíme, že výraz zůstává roven 4 pro jakékoli přirozené číslo n, což dokazuje naše tvrzení o rovnosti v jakémkoli n.
Příklad čísla n=1
Vezměme si příklad, kdy je hodnota proměnné n rovna 1. Pak musíme prokázat rovnost v dané hodnotě n. vložíme n=1 do rovnice a zkontrolujeme ji:
- Levá část rovnice: 2 * (1 + 1) = 2 * 2 = 4
- Pravá část rovnice: (1 + 1)(1 + 2) = 2 * 3 = 6
Vidíme, že levá část rovnice je 4 a pravá část je 6, což znamená, že rovnice se neprovádí při n=1. Rovnoprávnost tedy nebyla prokázána v daném významu n.
Z tohoto příkladu vidíme, že rovnost se neprovádí při n=1. To však neznamená, že rovnost není prováděna ve všech přirozených hodnotách n. k prokázání tohoto tvrzení je nutné provést obecnější důkaz.
Příklad čísla n=2
Vezměme si například číslo n=2. Důkaz rovnosti při této hodnotě n lze provést následovně:
Nechť je dán výraz x = n^2 + 3N-4. Vyměníme n za 2:
Při n = 2 se tedy ukazuje, že x = 6, což dokazuje rovnost při dané hodnotě n.
Příklad čísla n=3
Úkol: Prokázat rovnost v jakémkoli přirozeném čísle n=3.
Důkaz: Podívejme se na výraz levé a pravé strany rovnosti:
Levice: 1 + 2 + 3 + . + n = 1 + 2 + 3 + 3 = 9.
Pravá strana: n * (n + 1) * 0,5 = 3 * (3 + 1) * 0,5 = 6 * 4 * 0,5 = 12.
Levá strana je tedy 9 a pravá strana je 12. Z toho vyplývá, že při jakémkoli přirozeném čísle n=3 se provádí rovnost 1 + 2 + 3 + .. + n = n * (n + 1) * 0,5.
Příklad čísla n=4
Zvažte tvrzení: u jakéhokoli přirozeného čísla n se součet prvních n lichých čísel rovná čtverci čísla n.
Uveďte číslo n=4 do tohoto tvrzení:
Součet prvních 4 lichých čísel:
Částka: 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Čtverec čísla n=4: 4^2 = 16
Při n=4 je tedy tvrzení pravdivé.
Příklad čísla n=5
Vezměme si příklad čísla n=5. Pro důkaz rovnosti v jakémkoli přirozeném n musíme ukázat, že levá a pravá část rovnosti je rovna N=5.
Levá část rovnosti:
Pravicová část rovnosti:
Při n=5 se tedy levá a pravá část rovnosti rovná 40 a 45. To znamená, že rovnost platí při n=5.
Tímto způsobem jsme indukční metodou prokázali rovnost tohoto tvrzení v jakémkoli přirozeném čísle n. Přesně tak, ukázali jsme, že máme základnu pro indukční krok (přirozené číslo k) a předpokládali jsme, že naše tvrzení je provedeno pro K.číslo. Poté jsme použili indukční předpoklad, abychom dokázali, že je proveden pro (K+1) číslo. Máme tedy indukční základnu a indukční krok, což dokazuje rovnost našeho tvrzení pro jakékoli přirozené číslo n.