Rovnoběžník je speciální čtyřúhelník, ve kterém jsou protilehlé strany rovnoběžné. Dokázat rovnoběžnost stran abcd a amcn pro paralelogram lze pomocí některých vlastností tohoto tvaru.
Na začátku se podíváme na strany ab a dc našeho paralelogramu. Jsou protichůdné a rovnoběžné, protože podle definice rovnoběžníku musí být jeho strany rovnoběžné. Tímto způsobem jsme prokázali paralelitu stran ab a dc.
Nyní se podíváme na strany am a nc. V rovnoběžníku jsou protilehlé strany stejné délky, což znamená am = dc a nc = ab. Protože jsme již prokázali rovnoběžnost stran ab a dc, dostáváme, že rovnoběžné jsou i strany am a nc.
Takže jsme dokázali, že strany abcd a amcn pro paralelogram jsou rovnoběžné. Tato vlastnost nám pomáhá při řešení různých problémů souvisejících s paralelogramy a umožňuje nám nastavit poměry mezi jeho stranami a úhly.
Vlastnosti paralelogramu
1. Protilehlé strany rovnoběžníku jsou rovnoběžné s délkou. Tato vlastnost vyplývá z definice rovnoběžníku. Strana ab se rovná straně dc a strana ad se rovná straně bc. Také strana ab se rovná straně ba a strana ad se rovná straně da.
2. Opačné úhly rovnoběžníku jsou stejné. Úhel adb se rovná úhlu bca a úhel bad se rovná úhlu cdb. Součet úhlů adb a bad je 180 stupňů, stejně jako součet úhlů bca a cdb.
3. Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu. Úhlopříčky ac a bd se protínají v bodě m. dělí se na polovinu, to znamená am = MS a BM = MD.
4. Součet úhlů rovnoběžníku je 360 stupňů. Úhly adb, bca, cdb a bad dohromady dávají 360 stupňů. Tato vlastnost vyplývá, že rovnoběžné rovné úhly složené také dávají 180 stupňů.
Pomocí těchto vlastností lze prokázat rovnoběžnost stran abcd a amcn v paralelogramu. K tomu je třeba použít skutečnost, že v rovnoběžníku jsou protilehlé strany rovnoběžné a mají stejnou délku, stejně jako že úhlopříčky jsou rozděleny napůl.
Známky paralelogramu
Pro jednoduché kontroly paralelnosti lze použít následující znaky:
- Úhly na základně: v rovnoběžníku jsou úhly tvořené základnou a boční stranou stejné.
- Úhlopříčka: úhlopříčky rovnoběžníku jej dělí na dva stejné trojúhelníky.
- Protějšek: protilehlé strany rovnoběžníku jsou v délce rovnoběžné a rovnoběžné.
- Střední linie: střední čára rovnoběžníku je rovnoběžná se základnami a rovná se polosum bází.
Poměr stran a úhlů
Vlastnosti paralelogramu nám umožňují odvodit důležitý poměr mezi stranami a úhly daného tvaru.
1. Protilehlé strany rovnoběžníku se rovnají délce: AB = CD a BC = AD.
2. Protilehlé úhly rovnoběžníku jsou stejné velikosti: ∠A = ∠C a ∠B = ∠D.
3. Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu: AM = MC a BN = ND.
4. Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu velikostí protilehlých úhlů: ∠AND = ∠BMC a ∠BNM = ∠CMD.
Pomocí těchto vlastností můžeme prokázat rovnoběžnost stran abcd a amcn pro daný paralelogram. Vyplývá to z rovnosti příslušných stran a úhlů.
Důkaz rovnoběžnosti stran abcd a amcn pro paralelogram
Pro začátek se podíváme na vlastnost rovnoběžníku, která říká: úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu a vzájemně se protínají v bodě P.úhlopříčka ac tedy rozděluje stranu ab na dvě stejné části.
Označíme průsečík úhlopříček rovnoběžníku jako bod R. zvažte trojúhelníky ARP a CRP. Mají dvě společné strany-stranu RR a stranu RP. Kromě toho mají stejné úhly na vrcholu P, protože strany ab a cd jsou rovnoběžné. Trojúhelníky ARP a CRP jsou tedy na dvou stranách a jednom rohu, což znamená, že jsou rovnoramenné.
Vzhledem k tomu, že trojúhelníky ARP a CRP jsou rovnoramenné, jejich základny AR a CR jsou stejné. To znamená, že strany ab a cd jsou rovnoběžné a rovnoběžné.
Nyní se podíváme na trojúhelníky ARP a MNR. Mají dva páry paralelních stran: AP a MN a AR a MR. Navíc mají stejné úhly na vrcholu P, protože strany am a cd jsou rovnoběžné. V důsledku toho jsou trojúhelníky ARP a MNR podobné teorému o homogenních trojúhelnících.
Dále, protože trojúhelníky ARP a MNR jsou podobné, znamená to, že příslušné strany těchto trojúhelníků jsou proporcionální. Z toho vyplývá, že strany ab a mn, stejně jako strany ad a mc, jsou proporcionální. Z vlastností rovnoběžníku také vyplývá, že hlavní úhlopříčky rovnoběžníku jsou dělitelné 1:1. Strany ab a cd jsou tedy rovnoběžné a rovnoběžné se stranami mn a mc.
Tímto způsobem jsme prokázali rovnoběžnost stran abcd a amcn pro paralelogram.