Zvažování kvadratické rovnice může být pro některé lidi obtížné. Jedním z klíčových bodů, kterým je třeba porozumět, je definice existence kořenů. Diskriminant hraje v tomto procesu důležitou roli.
Pokud je diskriminant větší než nula, pak rovnice má dva různé kořeny. Pokud je diskriminant nulový, rovnice má jeden kořen. Co se však stane, když je diskriminant menší než nula?
Pojem diskriminant
Pro kvadratickou rovnici druhu ax 2 + bx + c = 0 diskriminant se vypočítává podle vzorce D = b 2 - 4ac.
Pokud je diskriminační hodnota větší než nula (d > 0), pak má rovnice dva různé věcné kořeny. V tomto případě mohou být kořeny kladné nebo záporné v závislosti na známkách koeficientů a, b A c.
Pokud je diskriminační hodnota nulová (D = 0), pak má rovnice jeden věcný kořen, který je společný pro obě poloviny čtvercového trojčlenu.
Určení kořenů kvadratické rovnice
Definice kořenů kvadratické rovnice závisí na hodnotě jejího diskriminanta, která se vypočítá podle vzorce D = b^2 - 4ac. Diskriminant ukazuje, kolik řešení má rovnice a jaké jsou.
Pokud je diskriminant větší než nula (D > 0), kvadratická rovnice má dva různé věcné kořeny. Vypočítají se pomocí vzorce x_1 = (-b + sqrt(D))/(2a) a x_2 = (-b - sqrt(D))/(2a), kde sqrt(D) - odmocnina diskriminanta.
Pokud je diskriminant nulový (D = 0), kvadratická rovnice má jeden reálný kořen, který lze nalézt pomocí vzorce x = -b/(2a).
Tím, že znáte hodnotu diskriminanta kvadratické rovnice, můžete určit počet a typ kořenů této rovnice.
Hlavní část
Pokud je diskriminant kvadratické rovnice menší než nula, znamená to, že Rovnice nemá skutečné kořeny.
Diskriminant je definován podle vzorce: D = b^2-4ac, kde a, b A C jsou koeficienty rovnice ax^2 + bx + c = 0.
Pokud je například diskriminant roven -9, rovnice má dva komplexní kořeny: x = (- B ± √(- D))/2a, kde i je imaginární jednotka (√(-1)) a D = 9. Kořeny by tedy byly x_1 = - b/2A-3i/2 a x_2 = - b / 2A + 3i / 2.
To je důležité vzít v úvahu při řešení čtvercových rovnic s menším diskriminantem, abyste získali správnou odpověď a vyhnuli se chybám.
Diskriminant pod nulou: negativní kořeny
Pokud je diskriminant negativní, pak má rovnice Komplexní kořeny. Kořeny kvadratické rovnice se záporným diskriminantem jsou vyjádřeny jako a + bi a a - bi, kde i je imaginární jednotka (√-1).
Tyto kořeny se nazývají komplexní. Jsou prezentovány jako součet platných a imaginárních částí. Skutečná část (a) určuje polohu kořene na hmotné ose a imaginární část (bi) odráží jeho polohu na imaginární ose.
Pokud má například rovnice tvar x^2 + 4 = 0, pak její diskriminant D = 16 – 16 = 0. Protože diskriminant je nulový, rovnice má jeden platný kořen x = 0.
Pokud má však rovnice tvar x^2 + 4x + 5 = 0, pak je její diskriminant D = 16 – 4 * 1 * 5 = -4. Protože diskriminant je negativní, Rovnice nemá skutečné kořeny, ale má komplexní kořeny x = -2 + 1i a x = -2 - 1i.
Případ diskriminanta je nulový
Pokud je diskriminant kvadratické rovnice nulový, pak má tato rovnice pouze jeden kořen. Takový případ nastává, když vrchol paraboly odpovídající rovnici leží na ose absces, to znamená, že parabola protíná osu X pouze v jednom bodě.
Kořen této rovnice lze nalézt podle vzorce:
Přítomnost pouze jednoho kořene může naznačovat specifické geometrické vlastnosti paraboly dané rovnicí. Pokud je například vrchol paraboly nad osou X, bude grafické znázornění rovnice vypadat jako "zachycení" jednoho bodu na ose X, který udává jediný kořen rovnice.
Případ diskriminanta nad nulou: skutečné kořeny
Když je diskriminant větší než nula, znamená to, že kvadratická rovnice má dva platné kořeny. Abychom našli tyto kořeny, musíme použít diskriminační vzorec:
Pokud je diskriminant větší než nula, pak má kvadratická rovnice dva platné kořeny. Vzorce pro nalezení kořenů kvadratické rovnice jsou následující:
Kde x1 a x2 - kořeny kvadratické rovnice, a, b a c - koeficienty této rovnice.
Nalezené hodnoty x1 a x2 jsou platnými kořeny kvadratické rovnice a lze je interpretovat jako hodnoty proměnné x, ve kterých se rovnice provádí.
Pokud je tedy diskriminant větší než nula, pak kvadratická rovnice má dva platné kořeny, které lze nalézt pomocí vzorců k nalezení kořenů z diskriminanta.