K nalezení kritických bodů funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x je nutné provést její diferenciaci. Odlišením funkce jednoho argumentu získáme její derivát. Pokud je derivace funkce nulová, pak se bod, ve kterém k ní dochází, nazývá kritický.
Pojďme najít derivát funkce f (x):
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Nyní nalezneme kořeny derivátu a porovnáme je s nulou:
3x^2 - 18x + 15 = 0
Vyřešením této kvadratické rovnice získáme dvě hodnoty x: x1 = 1 a x2 = 5.
Funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x má tedy dva kritické body: x1 = 1 a x2 = 5.
Definice funkce
Tato funkce f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x je kubickou funkcí. Kubická funkce je definována rovnicí třetího stupně a má druh f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d kde jsou koeficienty a, b, c a d určují jeho vlastnosti.
Popis funkce f (x)
Graf funkce f (x) je křivka čáry, která může být zvýšena nebo snížena vzhledem k ose x v závislosti na hodnotách koeficientů.
K určení počtu kritických bodů na grafu funkce f (x) je nutné analyzovat její derivát. Kritický bod na grafu funkce je definován jako bod, ve kterém je odvozená funkce nulová nebo neexistuje.
Kritický bod
Pro funkci f (x) = x^3-9x^2 + 15x je nutné najít derivát a přirovnat jej k nule:
- Najdeme odvozenou funkci:
- f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
- Porovnáme derivát s nulou a vyřešíme výslednou rovnici:
- 3x^2 - 18x + 15 = 0
- x = 1, x = 5
Funkce má tedy dva kritické body: x = 1 a x = 5.
Definice kritických bodů
Pro funkci f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x lze kritické body nalézt nalezením její derivace a řešením rovnice f'(x) = 0. V tomto případě je odvozená funkce f'(x) = 3x^2 - 18x + 15. Vyřešením rovnice f'(x) = 0 najdeme hodnoty x Odpovídající kritickým bodům.
Po nalezení hodnot x odpovídajících kritickým bodům lze analyzovat chování funkce v okolí těchto bodů pomocí druhé derivace f " (x) a Fermatovy věty o stacionárních bodech.
Výpočet kritických bodů
Pro začátek najdeme derivát funkce f ' (x) = 3x^2 - 18x + 15. Dále porovnáme derivát k nule a vyřešíme výslednou rovnici:
3x^2 - 18x + 15 = 0.
K vyřešení této rovnice můžete použít čtvercový tříčlen nebo použít metodu plného čtverce. Při řešení výsledné rovnice najdeme dva kritické body funkce.
Kromě toho je třeba zkontrolovat hodnoty derivace v bodech, kde neexistuje. K tomu je třeba najít hodnoty x, ve kterých je jmenovatel derivace nulový. V této funkci je jmenovatel vždy 3 a nikdy se neohlíží na nulu, takže funkce nemá takové body.
Funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x má tedy dva kritické body.
Metodika výpočtu
K výpočtu odvozené funkce f (x) používáme pravidlo diferenciace stupňovité funkce a pravidlo diferenciace součtu a rozdílu funkcí. Derivace funkce f (x) se rovná:
f'(x) = 3x^2 - 18x + 15
Abychom našli kritické body funkce, vyrovnáme derivát funkce f'(x) na nulu a vyřešíme výslednou kvadratickou rovnici:
| Kvadratická rovnice | Řešení |
|---|---|
| 3x^2 - 18x + 15 = 0 | x1 = 1, x2 = 5 |
Funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x má tedy dva kritické body: x = 1 a x = 5.
K určení, zda je kritický bod maximem, minimem nebo bodem přetížení, je nutné analyzovat hodnotu druhé derivace funkce f"(x) v každém kritickém bodě. Pokud je f"(x) > 0, pak je kritický bod minimálním bodem, pokud je f"(x) < 0, pak je kritický bod maximálním bodem, a pokud je f " (x) = 0, pak je to skluzový bod. V této rovnici však nejsou žádné body sklonu, protože neexistují žádné kořeny rovnice f"(x) = 0.
Pro výpočet druhé derivace funkce f "(x) = 6x - 18 rozlišujeme derivaci funkce f'(x). Dostávat:
Vložíme nalezené kritické body do rovnice druhé derivace, abychom určili jejich povahu chování:
f"(5) = 6 * 5 - 18 = 12 > 0, takže x = 5 je bod minima
Funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x má tedy jeden bod maxima při x = 1 a jeden bod minima při x = 5.
Příklady kritických bodů
K nalezení kritických bodů je nutné najít hodnoty, u kterých je odvozená funkce nulová nebo neexistuje.
Pro tuto funkci je derivát f ' (x) = 3x^2 - 18x + 15.
Abychom našli kritické body, porovnáme derivaci s nulou a vyřešíme výslednou rovnici:
| Rovnice | Řešení |
|---|---|
| 3x^2 - 18x + 15 = 0 | x = 1, x = 5 |
Funkce f (x) = x^3 - 9x^2 + 15x má tedy dva kritické body: x = 1 a x = 5.