V matematice existuje koncept vzájemné jednoduchosti čísel, kdy se jejich největší společný dělitel rovná jedné. Pokud jsou čísla vzájemně jednoduchá, pak nemají společné dělitele kromě jedničky. Je zajímavé zjistit, zda čísla 17 a 136 jsou vzájemně jednoduchá.
Číslo 17 je prvočíslo, protože má pouze dva dělitele - 1 a samotné číslo 17. Na druhou stranu číslo 136 není jednoduché, protože má několik dělitelů. K určení vzájemné jednoduchosti čísel 17 a 136 je proto nutné najít jejich největší společný dělitel.
Největší společný dělitel (NOD) čísel 17 a 136 lze nalézt pomocí Euklidova algoritmu. Operace dělení se zbytkem nám umožňují postupně najít zbytek z dělení jednoho čísla na druhé, dokud nezískáme nulu. V takovém případě bude dělitel, který se vytvoří před nulou a bude Nod čísel 17 a 136.
Čísla 17 a 136 jsou vzájemně jednoduchá
Pro nalezení NOD lze použít Euklidův algoritmus. Nejprve vydělíme větší číslo menším číslem, poté vydělíme výsledný zůstatek menším číslem a tak dále, dokud se výsledný zůstatek nevyrovná 0. V předchozím kroku bude výsledné menší číslo NOD pro čísla 17 a 136.
Když použijeme Euklidův algoritmus na čísla 17 a 136, můžeme si všimnout, že:
136 ÷ 17 = 8 (zbytek 0)
NOD (17, 136) = 17.
Definice vzájemné jednoduchosti
Čísla 17 a 136 jsou považována za vzájemně prvočísla, pokud a pouze pokud se jejich NOD rovná 1. K určení NOD lze použít různé metody, včetně euklidova algoritmu nebo rozkladu na jednoduché faktory.
Euklidův algoritmus je založen na následující myšlence: pokud čísla a A b mají společný dělitel c, pak se a - b dělí na c. Pokračováním tohoto procesu můžeme najít NOD dvou čísel.
V případě čísel 17 a 136 můžeme použít euklidův algoritmus:
- 136 - 17 = 119
- 17 - 8*7 = 17 - 56 = -39
- 119 - 3*(-39) = 196
- 39 - 3*13 = 0
NOD (17, 136) = 1, což znamená, že tato čísla jsou vzájemně jednoduchá.
Vědět, zda jsou dvě čísla vzájemně jednoduchá, může být užitečné v různých oblastech, jako je šifrování dat, teorie pravděpodobnosti, kryptografie a další.
Prvočíslo
Například číslo 17 je prvočíslo, protože jeho jedinými děliteli jsou 1 a 17 a nelze jej získat vynásobením dvou celých čísel.
Na druhou stranu číslo 136 není prvočíslo, protože má více než dva dělitele. Například 136 lze rozdělit na 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68 a 136.
Čísla 17 a 136 tedy nejsou vzájemně jednoduchá, protože sdílejí dělitele.
Zde je tabulka, která ukazuje rozdíly mezi prvočíslem (17) a složeným číslem (136):
| Počet | Dělič | Jednoduché / Složené |
|---|---|---|
| 17 | 1, 17 | Jednoduché |
| 136 | 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136 | Složený |
Rozdělení na jednoduché faktory
Číslo 17:
Samotné číslo 17 je již prvočíslo, protože nemá jiné dělitele než 1 a sebe.
Číslo 136:
Najdeme prvočísla 136:
Číslo 136 lze tedy rozdělit na prvočísla jako 2 * 2 * 2 * 17..
Nyní můžete porovnat faktory pro čísla 17 a 136:
Faktory čísla 17: 17
Faktory 136: 2, 2, 2, 17
Jak je vidět z rozkladu, čísla 17 a 136 nemají společné prvočísla, což znamená, že jsou vzájemně prvočísla.
Euklidův Algoritmus
K nalezení NOD dvou čísel používá Euklidův algoritmus následující kroky:
- Vydělí větší číslo menším číslem a najde zbytek.
- Nahrazuje větší číslo menším číslem a zbytek větším číslem.
- Opakuje kroky 1 a 2, dokud zůstatek není nulový.
Když je zbytek nula, NOD dvou čísel se rovná poslednímu nenulovému zbytku. Pokud se NOD dvou čísel rovná jedné, jsou vzájemně jednoduché.
Použitím Euklidova algoritmu na čísla 17 a 136 získáme následující sekvenci zbytků:
Poslední nenulový zbytek je tedy 2, což znamená, že NOD čísel 17 a 136 je 2. Protože NOD Není 1, čísla 17 a 136 nejsou vzájemně jednoduchá.
Čísla 17 a 136 nejsou vzájemně jednoduchá, protože jejich největší společný dělitel je 2.
Výpočet NOD
Pro výpočet NOD dvou čísel Existují různé metody. Jednou z nejběžnějších metod je Euclidova metoda.
Euclidova metoda je založena na následujícím principu:
Pokud jsou A A b dvě čísla a A > b, pak NoD(a, b) = NOD(b, a mod b), kde mod označuje operaci pro získání zbytku z dělení.
Vezměme si například čísla 17 a 136. K výpočtu jejich NOD použijeme Euclidovu metodu:
NOD (17, 136) = NOD (136, 17) = NOD(17, 7) = NOD(7, 3) = NOD(3, 1) = 1
Tímto způsobem získáme, že čísla 17 a 136 jsou vzájemně jednoduchá, protože jejich NoD je 1.
Výpočet NOK
Pro výpočet NOK dvou čísel lze použít následující metodu:
| Krok | Akce |
|---|---|
| 1 | Rozložte každé číslo na jednoduché faktory. |
| 2 | Vyberte největší stupeň každého jednoduchého multiplikátoru ze všech rozkladů. |
| 3 | Vynásobte všechny vybrané jednoduché faktory dohromady. |
Použitím této metody na čísla 17 a 136 získáme následující rozklady na prvočísla:
Vybíráme největší stupně prvočísla: 17 a 2 3 .
Násobením těchto faktorů získáme NOK(17, 136) = 17 * 2 3 = 136
Čísla 17 a 136 tedy nejsou vzájemně jednoduchá, protože jejich NOK je 136.