V trigonometrii existuje pojem jako trigonometrický kruh. Je to kružnice, která označuje speciální body odpovídající geometrickým hodnotám úhlů. Jeden z těchto bodů se nazývá 5p 2 nebo 5π / 2.
Chcete-li najít tento bod na trigonometrickém kruhu, musíte vědět, že 5π/2 se rovná 2π + π/2. To znamená, že 5π/2 je na ose ordinat (osa y) druhého kvadrantu. Osa ordinat odpovídá hodnotě sinusu, což znamená, že Sin 5π/2 je -1.
Určení souřadnic bodu na trigonometrickém kruhu
Chcete-li určit souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu, musíte nejprve nastavit úhel ve stupních. Úhel se odpočítává od kladného směru osy OH ve směru hodinových ručiček.
Poté lze určit souřadnice bodu na kruhu. Absces bodu se rovná sinusu zadaného úhlu a ordinata je kosinus tohoto úhlu.
Pokud je například nastaven úhel 30 stupňů, pak budou souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu následující:
- Úsečka: sin(30°) = 0.5
- Souřadnice y: cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866
Bod na trigonometrickém kruhu s úhlem 30 stupňů tedy bude mít souřadnice (0.5, 0.866) nebo (1/2, √3/2).
Tyto informace pomáhají při řešení mnoha problémů pomocí trigonometrie a také umožňují snadné nalezení hodnot sinusu a kosinu na trigonometrickém kruhu.
Lze poznamenat, že na trigonometrickém kruhu jsou souřadnice bodů v rozmezí -1 až 1 a odpovídají hodnotám sinusu a kosinu pro daný úhel.
Popis trigonometrického kruhu a jeho souřadnicového systému
Pro snadné označení na obvodu je vybrán jeden z poloměrů-základní jednotkový obvod. Nazývá se také hlavní nebo jednotkový Kruhový obvod.
Na hlavním kružnici jsou vybrány dva body – začátek referenčního úhlu a průsečík kružnice s kladným směrem osy absciss (osa X) - průsečík sektoru 0°. Trigonometrický kruh má tedy začátek referenčního úhlu, průsečík osy absces a hlavní obvod poloměru 1.
V rámci trigonometrického kruhu se používá speciální souřadnicový systém - trigonometrický souřadnicový systém, ve kterém jsou osy absciss a ordinat vázány na hlavní obvod.
Takový souřadnicový systém se používá k popisu polohy a vazeb mezi rohy a jejich trigonometrickými funkcemi – sinusem a kosinem.
Všimněte si, že na trigonometrickém kruhu, na rozdíl od kartézského souřadnicového systému, hodnoty souřadnic nejsou udávány čísly, ale rohy. Takže bod na trigonometrickém kruhu je zcela určen úhlovými souřadnicemi.
Body na trigonometrickém kruhu mohou být udávány v radiánech, stupních nebo jiných jednotkách měření úhlu. V rámci trigonometrického kruhu se úhly mění od 0 do 360 stupňů nebo od 0 do 2π radiánů podle zvoleného systému měření.
Jak určit souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu
K určení souřadnic bodu na trigonometrickém kruhu je nutné znát úhel, ve kterém se tento bod nachází vzhledem k pozitivnímu směru osy absces. K tomu se používají stupně a radiány.
1. Ve stupňovém systému měření se úhel odpočítává proti směru hodinových ručiček, kde 0 stupňů odpovídá kladnému směru osy absces a 90 stupňů kladnému směru osy ordinat.
2. V radiovém systému měření se úhel odpočítává také proti směru hodinových ručiček, ale měří se v radiánech. Jeden radián se rovná úhlu, ve kterém je délka oblouku na kružnici rovna poloměru kružnice.
K určení souřadnic bodu na trigonometrickém kruhu se používá trigonometrický kruh tabulka:
| Roh | Souřadnice X | Souřadnice Y |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
| 90° | 0 | 1 |
| 120° | -1/2 | √3/2 |
| 135° | -√2/2 | √2/2 |
| 150° | -√3/2 | 1/2 |
| 180° | -1 | 0 |
| 210° | -√3/2 | -1/2 |
| 225° | -√2/2 | -√2/2 |
| 240° | -1/2 | -√3/2 |
| 270° | 0 | -1 |
| 300° | 1/2 | -√3/2 |
| 315° | √2/2 | -√2/2 |
| 330° | √3/2 | -1/2 |
| 360° | 1 | 0 |
Pomocí této tabulky lze určit souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu v daném rohu.
Použití úhlu k určení souřadnic bodu
Úhel je indikován v radiánech a může být pozitivní nebo negativní. Hodnota sinusu, kosinu a tangence úhlu je určena podle jeho souřadnic na kruhu. K tomu se používají následující vzorce:
- Sinus úhlu je y-souřadnice bodu na kruhu: sin (úhel) = y;
- Kosinus úhlu se rovná x-souřadnici bodu na kruhu: cos (úhel) = x;
- Tangens úhlu se rovná poměru sinusu kosinu: tan(úhel) = sin(úhel) / cos(úhel).
Pomocí dat vzorce a studiem hodnot sinusu, kosinu a tangensu na trigonometrickém kruhu můžeme přesně určit souřadnice libovolného bodu na kruhu. To je zvláště užitečné při řešení problémů souvisejících s trigonometrií.
Příklad nalezení souřadnic bodu na trigonometrickém kruhu
Vezměme si příklad nalezení souřadnic bodu na trigonometrickém kruhu v daném úhlu.
Nejprve je třeba určit úhel. Nechť je dán úhel α=5π / 2.
Chcete-li najít příslušný bod na trigonometrickém kruhu, musíte použít následující kroky:
- Najděte hodnoty sinusu a kosinu úhlu α pomocí vzorců sin(α) = sin(5π/2) a cos(α) = cos(5π/2).
- Vypočítejte souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu pomocí nalezených hodnot sinusu a kosinu. Označíme souřadnice bodu jako (x, y). Pak x = cos(α) a y = sin (α).
Nastavíme hodnotu úhlu α=5π/2 ve vzorci a vypočítáme hodnoty sinu a kosinu:
- sin(5π/2) = sin(π/2) = 1,
- cos(5π/2) = cos(π/2) = 0.
Takže jsme získali hodnoty sinusu a kosinu úhlu α. Nyní vypočítáme souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu:
- x = cos(5π/2) = 0,
- y = sin(5π/2) = 1.
Souřadnice bodu na trigonometrickém kruhu s úhlem α=5π/2 jsou tedy stejné (0, 1).