Abyste pochopili, o kolik procent se zvýší všechny strany obdélníku, když se zvýší o 10 procent, musíte použít matematický vzorec. V tomto případě máme zpočátku obdélník se stranami a A B, které se zvyšují o 10 procent. To znamená, že hodnota každé strany se zvyšuje o 10% původní délky.
Pomocí vzorce pro výpočet procenta nárůstu lze říci, že pokud se každá strana zvýší o 10 procent, bude celkové procento nárůstu všech stran také 10 procent.
Všechny strany obdélníku se tak zvýší o 10 procent, zatímco jejich délka se zvýší o 10 procent. To znamená, že každá strana bude mít nově 110 procent své původní délky, což odpovídá nárůstu o 10 procent.
Vliv zvětšení všech stran obdélníku na jeho plochu a obvod
Vezměme si příklad. Nechť má původní obdélník strany a A b. plocha obdélníku S se rovná součinu délek jeho stran: S = a*b. obvod obdélníku P se rovná dvojnásobnému součtu jeho stran: P = 2*(a+b).
Při zvětšení všech stran obdélníku o 10 procent jsou nové strany a1 = a + 0.1*a = 1.1*a A b1 = b + 0.1*b = 1.1*b. Plocha nového obdélníku S1 je S1 = A1*b1 = 1.21*a * b, což je o 21 procent více než původní Plocha: (S1-s)/s*100% = (1.21*a*b - a*B)/a * b * 100% = 21%.
Stejně tak obvod nového obdélníku P1 je P1 = 2*(A1+b1) = 2*(1.1*a+1.1*b) = 2.2*(a+b), což je o 20 procent více než původní obvod: (P1-P)/P * 100% = (2.2*(a+b) - 2*(a+b)))/(2*(a+b)) * 100% = 20%.
S nárůstem všech stran obdélníku o 10 procent se tak jeho plocha zvýší o 21 procent a obvod o 20 procent.
| Veličina | Původní obdélník | Zvětšený obdélník | Změna (%) |
|---|---|---|---|
| Plocha | S | S1 | 21% |
| Obvod | P | P1 | 20% |
Účtování procentního nárůstu stran
Při zvýšení všech stran obdélníku o 10 procent dochází k rovnoměrnému zvětšení každé strany.
Chcete-li zjistit, o kolik procent se zvětšují všechny strany obdélníku, je nutné vypočítat změnu plochy a obvodu po zvětšení.
K tomu lze použít následující vzorec:
Zvětšení plochy = (zvýšení strany v procentech)^2
Pokud se například každá strana obdélníku zvětší o 10 procent, plocha po zvětšení bude 1.1^2 = 1.21 (nárůst o 21 procent).
Podobně se počítá se zvýšením obvodů: Zvětšení obvodu = zvýšení strany v procentech * 4.
Se zvýšením všech stran o 10 procent se tak plocha a obvod obdélníku zvýší o 21 procent a 40 procent.
Výpočet nových hodnot stran
Chcete-li vypočítat nové hodnoty stran obdélníku, když je zvýšíte o 10 procent, musíte postupovat podle následujícího algoritmu:
- Najděte aktuální hodnoty všech stran obdélníku.
- Zvyšte každou stranu o 10 procent. Chcete-li to provést, vynásobte hodnotu každé strany 1.1.
- Vypočítejte nové hodnoty stran zaokrouhlením na nejbližší celé číslo. Pro zaokrouhlení použijte pravidlo "zaokrouhlení nahoru", to znamená, že pokud je zlomková část čísla větší nebo rovna 0.5, zaokrouhlete číslo na nejbližší větší celek, jinak zaokrouhlíte číslo na nejbližší menší celek.
Po provedení tohoto algoritmu získáte nové hodnoty všech stran obdélníku, které se zvýší o 10 procent původních hodnot.
Změna plochy při zvětšení stran
V tomto úkolu se uvažuje o obdélníku, u kterého se všechny strany zvětšují o 10 procent. Otázkou je, o kolik procent se změní plocha tohoto obdélníku.
Nechte původní rozměry obdélníku rovny a A b.po zvětšení každé strany o 10 procent se stanou 1.1 A a 1.1 b. Plocha obdélníku se vypočítá jako součin délky a šířky, to znamená s = a * b.
Pro stanovení změny plochy je nutné vypočítat poměr nové plochy k původní:
| Původní Plocha | Nové náměstí | Změna |
|---|---|---|
| S = a * b | S' = 1.1a * 1.1b | ΔS = S' - S |
Nastrčíme hodnoty nových stran do vzorce pro novou plochu a převedeme výraz:
S' = 1.1a * 1.1b = 1.21ab
Vyjádřete rozdíl ploch:
ΔS = S' - S = 1.21ab - ab = 0.21ab
Změna obvodu při zvětšení stran
Podívejme se, o kolik procent se obvod obdélníku zvýší, pokud zvýšíme všechny jeho strany o 10 procent.
Obvod obdélníku se vypočítá podle vzorce: P = 2 * (a + b), kde a A b jsou délky stran obdélníku.
Předpokládejme, že původní obdélník měl strany a A b. když se tyto strany zvětší o 10 procent, budou se rovnat a + 0.1 A A b + 0.1 b.
Nový obvod obdélníku by pak byl: P ' = 2 * (a + 0.1 A + b + 0.1 b) = 2 * (1.1 a + 1.1 b) = 2.2 * (a + b).
Porovnáním nového a původního obvodu vidíme, že nový obvod se oproti původnímu zvětšil 2,2 krát.
S nárůstem všech stran obdélníku o 10 procent se tak zvětší i obvod obdélníku o 120 procent.
Odhad procentního nárůstu plochy
Při zvýšení všech stran obdélníku o 10 procent je zajímavé odhadnout, o kolik se jeho plocha zvětšila. K tomu je nutné použít vzorec pro výpočet plochy obdélníku:
Plocha = délka * šířka
Předpokládejme, že původní obdélník měl délku L a šířku W. Při zvýšení každé strany o 10 procent budou nové hodnoty:
Délka = L + 0.1 L = 1.1 L
Šířka = W + 0.1 W = 1.1 W
Pak bude nová plocha obdélníku:
Nová plocha = (1.1 L) * (1.1 W) = 1.21 LW
Pro odhad procentního nárůstu plochy je nutné vyjádřit změnu plochy v procentech původní plochy. Rozdíl mezi novou a původní plochou se rovná:
Změna plochy = 1.21 LW-LW = 0.21 LW
Nyní vyjádřeme změnu plochy v procentech původní plochy:
Procentní zvětšení plochy = (změna plochy / původní plochy) * 100%
Procentuální zvětšení plochy = (0.21 LW / LW) * 100% = 21%
S nárůstem všech stran obdélníku o 10 procent se tak jeho plocha zvýší o 21 procent.
Odhad procentního nárůstu obvodů
Pro odhad procentního zvýšení obvodu obdélníku při zvýšení všech jeho stran o 10 procent je nutné zvážit vzorec pro výpočet obvodu obdélníku.
Obvod obdélníku se vypočítá podle vzorce:
Obvod = 2 * (Délka + Šířka)
Když zvětšíme všechny strany obdélníku o 10 procent, můžeme zapsat následující rovnice:
Nová délka = délka + 0.1 * Délka
Nová šířka = šířka + 0.1 * šířka
Pomocí získaných hodnot můžeme vypočítat nový obvod:
Nový obvod = 2 * (nová délka + Nová šířka)
Pro posouzení procentuálního zvětšení obvodu porovnáme hodnotu nového obvodu s hodnotou obvodu až po zvětšení všech stran. Rozdíl mezi nimi umožní určit, o kolik procent se obvod obdélníku zvětšil.
Ať máme obdélník se stranami o délce 8 cm a šířce 5 cm.:
Perimetr = 2 * (8 + 5) = 26 viz
Při zvýšení všech stran o 10 procent budou nové hodnoty:
Nová délka = 8 + 0.1 * 8 = 8.8 cm
Nová šířka = 5 + 0.1 * 5 = 5,5 cm
Vypočítáme nový obvod:
Nový obvod = 2 * (8.8 + 5.5) = 28.6 viz
Rozdíl mezi novým a původním obvodem je stejný:
Rozdíl = nový obvod-obvod = 28.6-26 = 2.6 cm
Odhadujeme procentní nárůst:
Procentní nárůst = (2.6 / obvod) * 100 = (2.6 / 26) * 100 = 10%
S nárůstem všech stran obdélníku o 10 procent se tak obvod zvýší o 10 procent.
Matematické vysvětlení procentuálního nárůstu
Chcete-li pochopit, o kolik procent se všechny strany obdélníku zvýší, když se zvýší o 10 procent, můžete použít matematický vzorec pro procentuální změnu:
Procentuální změna = (Nová hodnota-původní hodnota) / původní hodnota × 100%
Pro náš případ bude původní hodnota rovna straně obdélníku a nová hodnota je hodnota strany po zvýšení o 10 procent.
Řekněme, že původní hodnota strany obdélníku je s. po zvýšení o 10 procent bude nová hodnota strany 1.10 s.
Nyní můžeme použít vzorec pro procentuální změnu:
Procentuální změna = (1.10 S - S) / S × 100%
Zjednodušením výrazu získáme:
Procentní změna = (0.10 s) / s × 100%
Dále zjednodušíme a vypočítáme:
Procentuální změna = 0.10 × 100% = 10%
Všechny strany obdélníku se tak zvýší o 10 procent.
Příklady reálných situací
Podívejme se na několik příkladů, kde lze uplatnit znalosti o tom, o kolik procent se všechny strany obdélníku zvýší, když se zvýší o 10 procent.
Příklad 1: koupě domu
Uvažujete o koupi domu, který měří 10 metrů na šířku a 20 metrů na délku. Realitní kancelář vám sdělí, že velikost domu lze zvýšit o 10 procent. Jak se změní celková plocha domu?
Nechť S1 je původní plocha domu a S2 je změněná plocha domu.
Je známo, že S1 = šířka * délka = 10 m * 20 m = 200 m2.
Při zvýšení všech stran o 10 procent bude nová šířka 10 + (10 * 0.1) = 11 m a nová délka bude 20 + (20 * 0.1) = 22 m.
Pak nová plocha S2 = Nová šířka * nová délka = 11 m * 22 m = 242 m2.
Proto se plocha domu zvětšila o (s2 - S1) / S1 * 100% = (242 - 200) / 200 * 100% = 21%.
Příklad 2: zvětšení plochy zahrady
Vlastníte zahradní pozemek o rozloze 500 metrů čtverečních. Rozhodnete se zvýšit jeho velikost o 10 procent, abyste vytvořili nové zahradní zóny. O kolik procent se zvýší celková plocha vašeho pozemku?
Původně byla plocha vašeho pozemku S1 = 500 m2.
Po zvýšení všech stran o 10 procent bude nová plocha S2 rovna S1 + (S1 * 0.1) = 500 m2 + (500 m2 * 0.1) = 550 m2.
Tímto způsobem se plocha vašeho pozemku zvýší o (s2 - S1) / S1 * 100% = (550 - 500) / 500 * 100% = 10%.
Příklad 3: Výpočet zvětšení velikosti akvária
Máte akvárium, které měří 60 cm na šířku, 30 cm na výšku a 40 cm na hloubku. Chcete zvýšit velikost akvária o 10 procent. Jak se změní objem a plocha akvária?
Původní rozměry akvária dávají objem v1 = Šířka * Výška * Hloubka = 60 cm * 30 cm * 40 cm = 72000 cm3.
Při zvýšení všech stran o 10 procent bude nová šířka 60 + (60 * 0.1) = 66 cm, nová výška bude 30 + (30 * 0.1) = 33 cm a nová hloubka bude 40 + (40 * 0.1) = 44 cm.
Nový objem V2 se pak rovná nové šířce * Nová výška * Nová hloubka = 66 cm * 33 cm * 44 cm = 97344 cm3.
Změní se také povrch akvária. Původní povrchová plocha S1 je (Šířka * Výška * 2) + (šířka * hloubka * 2) + (Výška * Hloubka * 2).
Nová plocha povrchu S2 bude rovna (Nová šířka * Nová výška * 2) + (nová šířka * nová hloubka * 2) + (Nová výška * nová hloubka * 2).
Je vidět, že oba vzorce obsahují (Šířka * Výška * Hloubka), takže výraz (Šířka * Výška * Hloubka) lze označit jako v.
Pak S1 = (v * 2) + (V * 2) + (V * 2) = 6V a s2 = (Nová šířka * Nová výška * 2) + (Nová šířka * nová hloubka * 2) + (Nová výška * nová hloubka * 2) = 6 * (Nová šířka * Nová výška * nová hloubka).
Pak S2 = 6 * (66 cm * 33 cm * 44 cm) = 435456 cm2.
Objem akvária se tedy zvýšil o (v2 - V1) / v1 * 100% = (97344 - 72000) / 72000 * 100% = 35,2%, a povrchová plocha se zvětšila na (s2 - S1) / S1 * 100% = (435456 - 432000) / 432000 * 100% = 0,8%.