Trojúhelník popsaný kolem kruhu, je zvláštní případ trojúhelníků, kde každý vrchol trojúhelníku leží na kružnici, to znamená, že všechny strany trojúhelníku jsou chordami tohoto kružnice. V takovém trojúhelníku lze vždy najít zajímavé vzory a vlastnosti, včetně rovnosti úhlů.
V popsaném trojúhelníku je nejznámější vlastností poloměr kružnice vedený směrem k straně trojúhelníku výška, medián a bissectris. Je také známo, že úhel tvořený dvěma čarami, které spojují vrcholy trojúhelníku a střed kružnice, je dvakrát větší než úhel na vrcholu, tvořený chordou a tečnou k obvodu v jeho průsečíku.
Z toho vyplývá, že úhel tvořený dvěma chordy je měřen polokummem oblouků uzavřených mezi těmito chordy. Pokud jeden z chordů sdílí druhý Chord a protíná kružnici, pak úhel tvořený těmito chordy je polovina rozdílu oblouků uzavřených mezi těmito chordami.
Úhly trojúhelníku v popsaném kružnici: podrobné vysvětlení
Pro pochopení úhlů trojúhelníku v popsaném kružnici je nutné se obrátit na větu o rozích opírajících se o stejný oblouk. Podle této věty jsou úhly opřené o stejný oblouk kružnice stejné.
Pokud tedy trojúhelník ABC má popsaný kružnice a bod O je středem tohoto kružnice, pak jsou úhly AOC, BOC a ABC opřené o stejný oblouk AC. Proto jsou tyto úhly stejné.
| Roh | Opřený oblouk | Stejné úhly |
|---|---|---|
| ∠AOC | AC | ∠BOC |
| ∠BOC | AC | ∠AOC |
| ∠ABC | BC | ∠ACB |
| ∠ACB | BC | ∠ABC |
| ∠BAC | AB | ∠BCA |
| ∠BCA | AB | ∠BAC |
Úhly trojúhelníku v popsaném kružnici se tedy navzájem rovnají podle opřeného oblouku.
Studium úhlů trojúhelníku v popsaném kružnici má důležité aplikace, zejména v trigonometrii a geometrii. Pochopení těchto úhlů umožňuje řešit širokou škálu problémů a testovat geometrické vlastnosti trojúhelníku na základě jeho popsaného kružnice.
Co je popsaný obvod?
Klíčovým bodem popsaného kružnice je, že její střed leží nejen na kolmicích, které jsou vynechány ze středu stran trojúhelníku, ale také se shoduje s průsečíkem těchto kolmic.
Jak vytvoříte popisovaný obvod trojúhelníku?
- Chcete-li vytvořit popsaný obvod trojúhelníku, musíte znát délku jeho stran.
- Dále najděte střed stran trojúhelníku. To lze provést provedením úseků, které spojují konce každé strany s bodem ležícím uprostřed této strany.
- Přejeďte kolmicí ke středům stran pomocí oběžníku nebo pravítka.
- Nyní najděte průsečík těchto kolmic. Bude středem popsaného kruhu.
- Pomocí oběžníku nakreslete kružnici, se středem v nalezeném bodě a poloměrem rovným vzdálenosti od středu k některému z vrcholů trojúhelníku.
Tímto způsobem vytvoříte popsaný obvod, který bude procházet všemi vrcholy trojúhelníku. Tento kružnice bude mít vlastnost, že úhly tvořené oblouky kružnice s příslušnými stranami trojúhelníku budou stejné.
Co jsou úhly v popsaném kružnici?
Součet vnitřních úhlů v popsaném obvodu je 360 stupňů nebo 2π radiánů. To znamená, že pokud provedete všechny možné hordy v popsaném kružnici, součet příslušných úhlů bude 360 stupňů.
Vnější úhly v popsaném kružnici jsou tvořeny pokračováním chordů přes průsečík s jiným chordem. Vnitřní a vnější úhly v popsaném kružnici mají řadu vlastností a vazeb s dalšími prvky trojúhelníku, jako je střed kružnice, poloměry a délky oblouků.
Pochopení úhlů v popsaném kružnici pomáhá řešit geometrické problémy spojené s trojúhelníky a kružnicemi a je důležitým prvkem v geometrii.
Vlastnosti úhlů v popsaném kružnici
V popsaném kružnici trojúhelníku existuje několik vlastností, které se týkají jeho úhlů:
Úhel mezi hordou a obloukem
Úhel mezi hordou a obloukem na popsaném kružnici je polovina úhlu, který stírá oblouk.
Středový úhel
Úhel s vrcholem ve středu popsaného kružnice, tvořený dvěma hordy, se rovná součtu odpovídajících úhlů vytvořených těmito hordy na kružnici.
Pokračování popsaného kruhu
Pokud prodloužíte jeden z chordů na popsaném kružnici do křížení s druhým chordem, vzniklé úhly budou stejné.
Úhel tvořený sekací a tečnou
Úhel mezi sekcí a tečnou, vytvořený na popsaném kružnici, je polovina úhlu, který stírá oblouk, který tyto čáry protíná.
Úhly v popsaném kružnici podle polohy vepsaného trojúhelníku
1. Pravoúhlý trojúhelník:
Pokud je trojúhelník obdélníkový, pak jeden z jeho úhlů bude 90 stupňů a další dva rohy budou menší než 90 stupňů. Úhel proti přeponě by byl úhel v polovině oblouku dalšího oblouku vedeného nad tímto úhlem v popsaném kružnici. Zbývající dva rohy budou rohy v obloucích dalších oblouků vedených nad těmito úhly v popsaném kružnici.
2. Rovnoramenný trojúhelník:
Pokud je trojúhelník rovnoramenný, pak se jeho dva úhly budou navzájem rovnat a třetí úhel se bude lišit. Úhly, které protínají strany stejné délky, se budou rovnat polovině oblouků vedených nad těmito stranami v popsaném kružnici. Úhel protilehlé strany, který se liší délkou, bude roven oblouku vedenému nad touto stranou v popsaném kružnici.
3. Rovnostranný trojúhelník:
Pokud je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho úhly budou stejné a rovny 60 stupňům. Úhly v obloucích popsaného kružnice nakreslené na každé straně trojúhelníku budou také 60 stupňů.
4. Libovolný trojúhelník:
V případě libovolného trojúhelníku budou úhly v popsaném kružnici záviset na délkách stran a poloze vrcholů trojúhelníku. K určení úhlů lze v popsaném kružnici použít věty o centrálních úhlech, o polovině oblouku a o tečnách k obvodu.
Znalost úhlů v popsaném kružnici může být užitečná při řešení problémů v geometrii, konstrukci trojúhelníků a nalezení hodnot úhlů v různých geometrických obrazcích.
Vzorec pro výpočet úhlů v popsaném kružnici
K výpočtu úhlů se v trojúhelníku popsaném poblíž kružnice používá speciální vzorec, který umožňuje najít velikost každého rohu trojúhelníku. To může být užitečné pro řešení geometrických problémů a nalezení neznámých hodnot.
Vzorec je následující:
Úhel a = 2 * arcsin (a / 2R)
Úhel B = 2 * arcsin (b / 2R)
Úhel C = 2 * arcsin (c / 2R)
a, b, C - délky stran trojúhelníku
R - poloměr popsaného kružnice
Vzorec je založen na tom, že úhel tvořený chordou a obloukem kružnice se rovná dvojnásobku úhlu vytvořeného tímto chordem a průměrem a vypočítává hodnotu úhlu trojúhelníku na základě délky strany a poloměru kružnice.
S vědomím délky stran trojúhelníku a poloměru popsaného kružnice tedy můžeme vypočítat úhly trojúhelníku pomocí daného vzorce.
Příklady řešení problémů s výpočtem úhlů v popsaném obvodu
Zvažte několik příkladů, abyste lépe porozuměli tomu, jak vypočítat úhly trojúhelníku popsaného kolem kružnice.
| Příklad | Podmínky | Řešení |
|---|---|---|
| Příklad 1 | Trojúhelník ABS je popsán kolem kruhu. | Úhel vás rovná se úhel mezi chordy AV a ne, který prochází bodem a. |
| Příklad 2 | Trojúhelník DEF je popsán kolem kružnice, úhlopříčky ED a EF se protínají v bodě G. | Úhly DGE a GEF jsou stejné, protože jsou odpovídající úhly při rovnoběžných přímkách. |
| Příklad 3 | Trojúhelník XYZ je popsán kolem kruhu, strany XY a XZ jsou stejné. | Úhel YXZ se rovná úhlu mezi oblouky YZ a XZ procházejícími bodem X. |
To je jen několik příkladů, jak lze k řešení problémů použít vlastnost úhlů v popsaném kružnici. Díky znalosti těchto vlastností budete moci snadněji řešit problémy s geometrií a výpočtem úhlů trojúhelníků.
Může se vám také líbit
Hořčík B6 a magnet B6-který je lepší vybrat?
Hořčík B6 a magnet B6 jsou dva oblíbené léky, které obsahují hořčík ve svém složení. Oba prostředky jsou široce rozšířené a používají se pro.
Jak dosáhnout dlouhých vlasů: tajemství a tipy
Každá žena sní o zdravých, dlouhých a krásných vlasech, které budou závidět ostatním. K takovému výsledku však nedojde.
Jak získat připojení k zubní klinice a zajistit bezpečnost sobě a svým zubům
Zubní klinika je specializované zdravotnické zařízení, které poskytuje služby péče o ústní dutinu a ošetření zubů a.
Jak dostat dítě do zahraničí před soud. Podrobný návod
Odchod dítěte do zahraničí je závažná událost, která vyžaduje právní vyřízení v případě rozvodu nebo rodičovského sporu. V některých případech.
- Zpětná vazba
- Uživatelská smlouva
- Zásady ochrany osobních údajů