V matematice existuje mnoho způsobů řešení problémů. Jedním z nich je proporce. V mnoha každodenních situacích můžeme použít proporce k určení neznámých hodnot. Podívejme se na jednoduchý úkol: kolik kg jablek lze koupit za 24 hřiven?
K vyřešení tohoto problému můžeme použít vzorec poměru. Poměr je poměr dvou vztahů. V tomto případě můžeme zaznamenat poměr takto: počet kilogramů jablek / množství peněz = počet kilogramů jablek, které lze koupit za 1 rubl.
Pomocí tohoto vzorce můžeme vyjádřit Neznámý význam-množství kilogramů jablek. Pokud víme, kolik kilogramů jablek lze koupit za 1 rubl, vynásobením této hodnoty 24 dostaneme odpověď na úkol. Proto stačí najít množství kilogramů jablek, které lze koupit za 1 rubl.
Definice poměru a jeho význam při řešení problémů
V matematice představuje proporce rovnost dvou vztahů. Používá se k řešení různých problémů souvisejících s porovnáváním a proporcionálními veličinami. Poměr je vztah mezi čtyřmi hodnotami, přičemž vztah mezi jednou veličinou se rovná poměru mezi jinými veličinami.
Poměr je zaznamenán následovně:
kde a, b, c a d jsou čtyři veličiny (čísla).
Při řešení problémů založených na proporcích se používá proporcionální rovnost, která umožňuje najít hodnotu neznámé veličiny s vědomím hodnot ostatních.
Pro řešení poměru, například v úkolu o počtu zakoupených jablek za určitou cenu, se používá vzorec:
kde x je hodnota neznámé veličiny (počet zakoupených jablek), a - cena za 1 kg jablek, b - množství peněz vynaložených na jablka, c - množství zakoupeného zboží.
Použití poměru umožňuje řešit různé úkoly související s poměrnými vztahy a na základě známých najít neznámé hodnoty.
Vzorec pro výpočet proporcionality
Hodnota jablek (kg) = cena (hřivny) / Cena (hřivny za kilogram)
Chcete-li tedy vypočítat počet kilogramů jablek, které lze koupit za 24 hřiven, musíte částku rozdělit na cenu jablek za kilogram.
Cena jablek je 4 hřivny za kilogram. Pak pomocí vzorce můžeme vypočítat počet zakoupených kilogramů jablek:
Hodnota jablek (kg) = 24 hřiven / 4 hřivny za kilogram = 6 kg
Za těchto podmínek je tedy možné koupit 6 kilogramů jablek za 24 hřiven.
Známé úkoly a neznámá hodnota
Úkol zahrnuje následující známá data:
- Kupní cena: 24 Kč.
- Poměr, podle kterého se cena počítá: neznámá.
Neznámý význam úkolu je počet kilogramů zakoupených jablek.
Výpočet počtu kg jablek zakoupených za 24 hřiven
Pro výpočet počtu kilogramů jablek, které lze koupit za 24 hřiven, použijeme vzorec poměru.
K nalezení množství kg jablek použijeme následující vzorec:
Množství kg jablek = (cena v hřivnách * velikost poměru) / cena za kg jablek.
V našem případě je cena v hřivnách 24 a cena za kilogram jablek bude stanovena v různých obchodech.
Výpočet se provádí výběrem velikosti poměru, který je obvykle uveden na štítku nebo cenovce produktu.
Pokud je například velikost poměru uvedena jako 3, výpočet bude vypadat následovně:
Množství kg jablek = (24 * 3) / cena za kg jablek.
Pro každou konkrétní cenu za kg jablek tak můžeme snadno určit počet kilogramů, které lze koupit za 24 hřiven.
Proto je proporční vzorec vhodným nástrojem pro výpočet počtu kg jablek za danou cenu.
Příklad řešení problému pomocí vzorce
Pro řešení problému pomocí vzorce musíme vědět, jaký poměr použít. V tomto případě víme, že za 24 hřiven jsme koupili určité množství jablek. K nalezení tohoto poměru používáme vzorec:
množství jablek = množství peněz / cena za 1 kg jablek
S vědomím, že za 24 hřiven jsme koupili nějaké množství jablek, musíme tyto hodnoty vložit do vzorce a vyřešit to:
počet jablek = 24 hřiven / cena za 1 kg jablek
Pro úplnost řešení musíme také vědět, jakou cenu za 1 kg jablek používáme. Tato hodnota musí být poskytnuta za předpokladu úkolu nebo upřesněna prodávajícím.
Jakmile najdeme poměr, můžeme jej použít k nalezení počtu zakoupených jablek. Například, pokud cena za 1 kg jablek je 4 hřivny, pak:
počet jablek = 24 hřivny / 4 hřivny / kg = 6 kg
Takže za 24 hřiven jsme koupili 6 kg jablek.
Kontrola správnosti rozhodnutí a analýza výsledků
Zvažte nákup jablek za 24 hřiven. Podle vzorce se cena v hřivnách rovná množství kilogramů na cenu za 1 kilogram. Sestavíme rovnici:
24 = x * p
Kde x velikost, kterou je třeba najít, a p - cena za jeden kilogram.
Dále vyřešíme rovnici týkající se neznámé veličiny tím, že nastíníme známou hodnotu ceny. Předpokládejme, že cena za 1 kilogram jablek je 2 hřivny:
24 = x * 2
x = 24 / 2
x = 12
Za 24 hřiven tak lze koupit 12 kilogramů jablek za předpokládanou cenu 2 hřivny za 1 kilogram.
K ověření správnosti rozhodnutí však potřebujeme další informace. Pokud je cena za 1 kilogram jablek předem známá, můžeme zkontrolovat jejich výpočty. V případě, že obchod poskytl slevu na jablka v neznámém poměru, nemůžeme okamžitě tvrdit, že naše odpověď je správná.
Porovnejme náš výsledek s jinou možnou cenou. Předpokládejme, že cena za 1 kilogram jablek je 3 hřivny:
24 = x * 3
x = 24 / 3
x = 8
Takže za cenu 3 hřivny za 1 kilogram, za 24 hřivny můžete koupit 8 kilogramů jablek.
- Na nákup jablek za 24 hřiven máme dvě možnosti: za cenu za 1 kilogram 2 hřivny můžeme koupit 12 kilogramů a za cenu 3 hřivny - 8 kilogramů.
- Můžeme předpokládat, že navrhovaný poměr je lineární, proto máme na grafu dva body: (2, 12) a (3, 8).
Analýzou získaných výsledků můžeme najít rovnici přímky procházející těmito body. To nám umožní předpovídat cenu jablek při jiných hodnotách ceny za 1 kilogram. K vyřešení tohoto problému je třeba použít metodu nalezení rovnice přímky ve dvou bodech (např. metodou souřadnic). Tím, že do této rovnice vložíme různé hodnoty, můžeme predikovat náklady a počet jablek za různou cenu za 1 kilogram.
| Cena za 1 kilogram (p) | Počet kilogramů (x) |
|---|---|
| 2 | 12 |
| 3 | 8 |