Kužel je jedním z nejjednodušších a zároveň překvapivě geometrických tvarů. Jeho tvar připomíná silný a stabilní válec, který se postupně zužuje směrem k vrcholu. Navzdory své jednoduchosti má však kužel řadu zajímavých a užitečných vlastností. Jednou z těchto vlastností je možnost změnit plochu úplného povrchu kužele změnou jeho poloměru a vytvořením.
Plocha úplného povrchu kužele je součtem ploch základny a bočního povrchu. Se změnou poloměru základny nebo změnou tvořícího se změní také Plocha úplného povrchu kužele. To lze vidět z jednoduchého vzorce pro výpočet plochy úplného povrchu kužele:
S = πr(r + l),
kde S - Plocha úplného povrchu kužele, π - matematická konstanta "pí" (přibližná hodnota 3,14), r - poloměr základny kužele, l - kužel.
Vzhledem k tomu, že plocha úplného povrchu kužele závisí na poloměru a tvořícím se, se změnou těchto parametrů se změní také Plocha. Například zvětšením poloměru základny nebo tvořícího se zvětší plocha úplného povrchu kužele. Je důležité si uvědomit, že změna plochy úplného povrchu kužele bude přímo úměrná změně poloměru a vytvoření, s ohledem na vzorec výpočtu.
Koncept a vzorec plochy úplného povrchu kužele
Úplný povrch kužele je součtem ploch jeho bočního povrchu a základny.
Boční povrch kužele je výstružením zkráceného kužele, což je povrch získaný nasazením bočního povrchu bezprizorového kužele. Plochu bočního povrchu kužele lze vypočítat podle vzorce:
Bb = π * r * l,
kde BB - plocha bočního povrchu kužele, π - matematická konstanta " pí "(přibližná hodnota 3,14159), r - poloměr základny kužele, l - kuželovitý tvar (vzdálenost od vrcholu k bodu na obvodu základny).
Plocha základny kužele se vypočítá podle vzorce pro oblast kruhu:
N = π * r 2 ,
kde SSN - plocha základny kužele, r - poloměr základny kužele.
Plochu úplného povrchu kužele lze tedy vypočítat podle vzorce:
PP = PB + PP = π * r * l + π * r 2 ,
kde PP - Plocha úplného povrchu kužele.
Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat plochu úplného povrchu kužele při známých hodnotách poloměru základny a tvořící.
Změna plochy plného povrchu se zvýšením poloměru kužele
Když se změní poloměr kužele, změní se také plocha jeho plného povrchu. Plný povrch kužele se skládá ze dvou částí: základny a bočního povrchu. Poloměr základny ovlivňuje plochu základny a také plochu bočního povrchu, protože je součástí vzorce pro výpočet plochy bočního povrchu kužele.
Vzorec pro výpočet plochy úplného povrchu kužele:
S = π * r^2 + π * r * l,
kde S - plocha plného povrchu,
π-číslo Pi (přibližná hodnota 3.14),
r - poloměr základny,
kužel tvořící l.
Se zvýšením poloměru základny kužele se plocha základny zvětšuje, a proto se zvětšuje i Plocha úplného povrchu kužele.
Pokud je například poloměr základny kužele 5 cm a tvoří 10 cm, pak bude plocha úplného povrchu rovna:
S = 3.14 * 5^2 + 3.14 * 5 * 10 = 78.5 + 157 = 235.5 viz^2.
Pokud zvýšíme poloměr základny na 7 cm, bude plocha celého povrchu rovna:
S = 3.14 * 7^2 + 3.14 * 7 * 10 = 153.86 + 219.8 = 373.66 viz^2.
Zvýšení poloměru základny kužele tedy vede ke zvětšení plochy plné plochy kužele. To je způsobeno zvětšením plochy základny a bočního povrchu kužele.
Změna plochy úplného povrchu při zvětšení tvořícího kužele
Plocha úplného povrchu kužele závisí na jeho poloměru a tvaru. Rozměry poloměru a tvořícího mají zásadní vliv na povrch kužele. V této části se podíváme na to, jak se mění plocha celého povrchu, když se zvětšuje tvarovaný kužel.
Než přejdeme k úvahám o konkrétních příkladech, připomeňme vzorec pro výpočet plochy úplného povrchu kužele:
| Hodnota | Formule |
|---|---|
| Plocha úplného povrchu kužele | S = πr(r + l) |
Kde S je plocha úplného povrchu, r je poloměr základny kužele, l tvoří kužel.
Při zvětšení tvořícího kužele bez změny poloměru základny se také zvětšuje plocha celého povrchu. Je to proto, že tvarovaný je jedním z prvků plochy kužele a jeho zvětšení přispívá k celkové ploše. Čím více tvoří, tím větší je plocha úplného povrchu kužele.
Vezměme si například dva kužely s poloměrem základny 5 cm a tvořící 10 cm a 15 cm. v prvním případě, kde se tvoří 10 cm, bude plocha úplného povrchu rovna:
| Hodnota | Formule |
|---|---|
| Plocha úplného povrchu kužele | S = π × 5 × (5 + 10) = 5π × 15 = 75π |
Nyní se podívejme na případ, který tvoří 15 cm:
| Hodnota | Formule |
|---|---|
| Plocha úplného povrchu kužele | S = π × 5 × (5 + 15) = 5π × 20 = 100π |
Jak je vidět, Plocha úplného povrchu kužele s tvořícím 15 cm je větší než plocha úplného povrchu kužele s tvořícím 10 cm. To naznačuje, že plocha úplného povrchu kužele se zvyšuje se zvětšením tvořícího.
Se zvětšením tvořícího kužele bez změny poloměru se tak zvětšuje i plocha celého povrchu. To je důležité vzít v úvahu při navrhování a výpočtech v úkolech souvisejících s kužely.
Výpočet plochy úplného povrchu kužele při daných hodnotách poloměru a vytvoření
Pro výpočet plochy úplného povrchu kužele je nutné znát hodnoty poloměru základny a tvořící. Poloměr základny je označen jako r a výsledný jako l. Vzorec pro výpočet plochy úplného povrchu kužele je následující:
kde S je plocha úplného povrchu kužele, π je matematická konstanta přibližně 3.14159, R je poloměr základny kužele, l tvoří kužel.
Pokud je například poloměr základny kužele 5 cm a tvoří 10 cm, pak bude plocha úplného povrchu kužele:
S = 3.14159 * 5 * (5 + 10) = 235.619175,
což znamená, že plocha úplného povrchu kužele je přibližně 235.62 centimetrů čtverečních.
Příklad 1: Zvětšení plochy úplného povrchu kužele při zvýšení poloměru
Zvažte příklad, abyste viděli, jak změna poloměru ovlivňuje plochu úplného povrchu kužele.
Ať máme kužel s původním poloměrem. r = 5 cm a tvořící l = 12 cm.
Pro výpočet plochy úplného povrchu kužele použijeme vzorec:
-
Vypočítáme plochu základny kužele:
SOSN = π · r 2 SOSN = 3.14 · (5 cm) 2 SOSN 78,5 cm 2
Sbok = π · r · l Sbok = 3.14 · 5 cm · 12 cm Sbok 188,4 cm 2
Nyní předpokládejme, že zvětšíme poloměr na 2 cm to znamená, že nová hodnota poloměru bude rnový = 7 cm.
Opakujeme výpočty pro novou hodnotu poloměru:
-
Vypočítáme plochu základny kužele:
SOSN = π · rnový 2 SOSN = 3.14 · (7 cm) 2 SOSN 153,86 cm 2.
Sbok = π · rnový · l Sbok = 3.14 · 7 cm · 12 cm Sbok 263.04 cm 2
Z výsledků výpočtů vyplývá, že při zvýšení poloměru z 5 cm na 7 cm se plocha plného povrchu kužele zvyšuje z přibližně 266.9 cm 2 na přibližně 416.9 cm 2 . Zvýšení poloměru tedy ovlivňuje zvětšení plochy plné plochy kužele.
Výpočet plochy úplného povrchu kužele při počátečních hodnotách poloměru a vytvoření
Plochu úplného povrchu kužele lze vypočítat podle vzorce:
kde S je plocha úplného povrchu, r je poloměr základny kužele, l tvoří kužel.
Pro výpočet plochy úplného povrchu kužele je nutné znát hodnoty poloměru základny a tvořící. Poloměr základny je označen symbolem r a výsledný symbol L.
Například, pokud poloměr základny kužele r = 5 cm a tvořící l = 10 cm, pak Plocha úplného povrchu kužele bude:
S = π * 5 *(5 + 10) = π * 5 * 15 = 75π cm2
Při těchto hodnotách poloměru a tvořící plochu úplného povrchu kužele je tedy 75π čtverečních centimetrů.
Výpočet plochy plné plochy kužele při zvýšené hodnotě poloměru
Pro výpočet plochy úplného povrchu kužele při zvýšené hodnotě poloměru je nutné použít následující vzorec:
kde S je plocha úplného povrchu kužele, r je poloměr základny kužele, l tvoří kužel.
S rostoucím poloměrem základny kužele se tedy zvětšuje plocha celého povrchu. Je to proto, že poloměr základny je jedním ze základních parametrů určujících velikost kužele.
Příklad 2: zvětšení plochy úplného povrchu kužele při zvětšení
Vezměme si příklad, abychom názorně demonstrovali, jak zvětšení tvořící ovlivňuje plochu úplného povrchu kužele.
Předpokládejme, že máme kužel s poloměrem základny 5 cm a tvořícím 8 cm.nejprve vypočítáme jeho plnou plochu při daných parametrech.
Vzorec pro výpočet plochy úplného povrchu kužele:
S = πr(r + l)
kde S je plocha úplného povrchu, r je poloměr základny, l tvoří.
Když vložíme hodnoty do vzorce, dostaneme:
S = π * 5 (5 + 8) ≈ 13.23 cm2
Nyní předpokládejme, že zvětšíme tvarovanou na 10 cm a zopakujeme výpočet.
Tím, že vložíme nové hodnoty do vzorce, získáme:
S = π * 5 (5 + 10) ≈ 18.85 cm2
Jak je vidět na příkladu, zvětšení tvořící vedlo ke zvětšení plochy úplného povrchu kužele. To je způsobeno skutečností, že plocha bočního povrchu kužele závisí na délce tvořícího.
Se zvětšením se tak zvětší i plocha celého povrchu kužele.
Výpočet plochy úplného povrchu kužele při počátečních hodnotách poloměru a vytvoření
Plocha úplného povrchu kužele se vypočítá pomocí vzorce:
S = π * r * (r + l)
- S - Plocha úplného povrchu kužele;
- π - matematická konstanta π (pí), přibližná hodnota 3.14159;
- r - poloměr základny kužele;
- l - kuželovitý tvar (vzdálenost od vrcholu k bodu na obvodu základny).
Pro výpočet plochy úplného povrchu kužele je nejprve nutné změřit nebo nastavit hodnoty pro poloměr základny a kužele, který tvoří. Pomocí vzorce pak můžete najít plochu úplného povrchu.
Například máme kužel s poloměrem základny 4 cm a tvořící 6 cm.:
S = 3.14159 * 4 * (4 + 6) = 3.14159 * 4 * 10 = 125.6636 cm2
Celková plocha tohoto kužele by tedy byla přibližně 125.6636 cm2.
Výpočet plochy úplného povrchu kužele při zvýšené hodnotě tvořící
Plochu úplného povrchu kužele lze vypočítat pomocí vzorce:
kde r - poloměr základny kužele, l - kužel.
Pokud zvýšíte hodnotu tvořící, změní se také Plocha úplného povrchu kužele. Podle vzorce vidíme, že plocha základny kužele, která tvoří, zůstává konstantní. Plocha bočního povrchu však závisí na délce tvořícího. Pokud se výsledná zvětší, zvětší se také plocha bočního povrchu, což zase vede ke zvětšení plochy úplného povrchu kužele.
Pokud tedy zvýšíme hodnotu kužele, který tvoří, zvětší se také plocha celého povrchu kužele. To je důležité vzít v úvahu při navrhování nebo při výběru materiálů pro výrobu kuželovitých objektů.