Šestiúhelník neboli Hexagon je jedním z nejjednodušších a stále úžasných geometrických tvarů. Skládá se ze šesti stran stejné délky a šesti úhlů, z nichž každý má 120 stupňů. Úhlopříčka je segment, který spojuje dva vrcholy postavy, které nejsou sousední. Jak ale najít úhlopříčku šestiúhelníku, pokud je známa pouze délka strany?
Navzdory své jednoduchosti se výpočet úhlopříčky správného šestiúhelníku může zdát jako obtížný úkol pro nepřipraveného člověka. Existuje však matematický vzorec, který umožňuje najít úhlopříčku pomocí délky strany. K tomu je třeba znát některá základní pravidla a vzorce geometrie.
Vzorec pro nalezení úhlopříčky šestiúhelníku je následující: úhlopříčka = strana * √3. Kde √3 je druhá odmocnina z čísla 3. Chcete-li tedy najít úhlopříčku šestiúhelníku, musíte vynásobit délku strany odmocninou.
Pokud je například známá strana šestiúhelníku a je rovna 10 jednotkám délky, pak lze úhlopříčku nalézt následovně: úhlopříčka = 10 * √3. Výpočtem získáme, že úhlopříčka šestiúhelníku bude přibližně 17.32 jednotky délky.
Způsoby, jak najít úhlopříčku správného šestiúhelníku
K nalezení úhlopříčky správného šestiúhelníku lze použít několik způsobů. Každý z nich umožňuje získat přesnou hodnotu úhlopříčky a volba způsobu závisí na dostupných informacích a preferencích.
1. Vzorec úhlopříčky přes délku strany:
Úhlopříčku šestiúhelníku lze nalézt s vědomím délky jeho strany. Pro správný šestiúhelník je vzorec pro výpočet úhlopříčky následující:
| Formule | Hodnota |
|---|---|
| Úhlopříčka | d = 2 * a |
Kde d - úhlopříčka, a - délka strany šestiúhelníku.
2. Vzorec úhlopříčky přes poloměr:
Pokud je znám poloměr správného šestiúhelníku, lze délku jeho úhlopříčky najít podle následujícího vzorce:
| Formule | Hodnota |
|---|---|
| Úhlopříčka | d = 2 * r |
Kde d - úhlopříčka, r - poloměr šestiúhelníku.
3. Vzorec úhlopříčky přes plochu:
Je také možné najít úhlopříčku správného šestiúhelníku, znát jeho plochu. Vzorec pro výpočet úhlopříčky u těchto informací má:
| Formule | Hodnota |
|---|---|
| Úhlopříčka | d = 2 * sqrt(3 * A / sqrt(3)) |
Kde d - úhlopříčka, A - oblast šestiúhelníku.
Při výběru jedné z uvedených metod lze vypočítat úhlopříčku správného šestiúhelníku a získat přesnou hodnotu této veličiny.
Použití vzorce pro nalezení úhlopříčky
- Najděte hodnotu délky strany šestiúhelníku.
- Vynásobte tuto hodnotu √3 a najděte délku úhlopříčky.
Vzorec √3 se používá k výpočtu délky úhlopříčky ve správném šestiúhelníku, protože poměr délky úhlopříčky k délce strany je √3: 1.
Pokud je například známa délka strany šestiúhelníku 10 cm, lze k nalezení délky úhlopříčky použít následující vzorec:
Délka úhlopříčky = 10 cm * √3 ≈ 17,32 cm
Pomocí tohoto vzorce můžete přesně najít délku úhlopříčky ve správném šestiúhelníku při známé délce jeho strany.
Použití Pythagorovy věty
Při nalezení úhlopříčky šestiúhelníku se správnou stranou lze použít Pythagorovu větu. Toto je základní nástroj pro výpočet délky úhlopříčky, když jsou známy strany trojúhelníku v rámci daného vzorce:
kde c - úhlopříčka, a a b - strany trojúhelníku. Chcete-li najít úhlopříčku šestiúhelníku, musíte jej rozdělit na dva trojúhelníky, z nichž každý je obdélníkový degenerovaný trojúhelník.
Pomocí poměru mezi stranami ve správném trojúhelníku (ve kterém jsou všechny strany stejné) lze vypočítat délku strany:
kde a - strana trojúhelníku, s - strana šestiúhelníku.
Vložením hodnot do Pythagorova vzorce lze najít délku úhlopříčky:
Kde c - hledaná úhlopříčka, b - strana trojúhelníku.
Pro nalezení úhlopříčky bočního šestiúhelníku přes poloměr kruhu je nutné použít poměr.
Pro začátek najdeme délku strany šestiúhelníku. Použijeme známý poměr, podle kterého se délka strany rovná dvěma poloměrům kružnice vynásobeným sinusem 30 stupňů:
a = 2 * R * sin(30)
Kde a - délka strany, R - poloměr kruhu.
Dále najdeme úhlopříčku d. K tomu použijeme Pythagorovu větu, podle které:
d = 2 * R * sin(30) * √3
Kde d - délka úhlopříčky bočního šestiúhelníku, R - poloměr kruhu.
Díky znalosti poloměru kružnice tedy můžeme snadno odvodit délku úhlopříčky šestiúhelníku.
Výpočet úhlopříčky přes středový úhel
Chcete-li najít úhlopříčku správného šestiúhelníku, pokud je strana známá, můžete použít vzorec založený na vlastnostech centrálního úhlu.
Nechť s je známá strana šestiúhelníku, d hledaná úhlopříčka a α je středový úhel, na který úhlopříčka rozděluje šestiúhelník.
Pak by se podle vlastnosti centrálního úhlu úhlopříčka d rovnala dvojnásobnému poloměru kružnice popsanému kolem šestiúhelníku, který je na sinu půlky centrálního úhlu:
Pomocí vlastnosti správného šestiúhelníku lze určit poloměr kruhu popsaný kolem šestiúhelníku jako polovinu délky strany šestiúhelníku:
Vložením tohoto výrazu do vzorce pro úhlopříčku získáme:
d = 2 * (s/2) * sin(α/2)
Chcete-li tedy najít úhlopříčku správného šestiúhelníku, musíte vynásobit polovinu délky strany sinusem poloviny centrálního úhlu.
| Význam strany s | Význam centrálního úhlu α | Hodnota úhlopříčky d |
|---|---|---|
| 1 | 60° | 0.866 |
| 2 | 60° | 1.732 |
| 3 | 60° | 2.598 |
Použití výšky trojúhelníku
K nalezení správné úhlopříčky šestiúhelníku lze použít výšku trojúhelníku.
Výška trojúhelníku je úsek vedený z vrcholu trojúhelníku na opačnou stranu a kolmý k ní.
K nalezení výšky trojúhelníku se používá Pythagorova věta, která říká:
V pravoúhlém trojúhelníku se přepona čtverce rovná součtu čtverců katetů.
Lze tedy použít Pythagorovu větu k výpočtu výšky trojúhelníku na známé straně.
Nejprve najdeme plochu trojúhelníku známou stranou pomocí vzorce S = (a * h) / 2, kde a - strana trojúhelníku, h - výška trojúhelníku.
Dále, když znáte oblast trojúhelníku a známou stranu, můžete vyjádřit výšku trojúhelníku h. K tomu použijeme vzorec h = (2 * S) / a.
Výsledná výška trojúhelníku může být použita k nalezení úhlopříčky šestiúhelníku správného. Bude to strana správného trojúhelníku postaveného na úhlopříčce šestiúhelníku a výšce trojúhelníku.