Často při řešení problémů v matematice, možná budete muset určit počet čísel s určitými vlastnostmi. Jedním z těchto úkolů je určit, kolik čtyřmístných čísel existuje, jejichž součet číslic je 5. V tomto článku se podíváme na podrobné řešení tohoto problému.
Nejprve definujme čísla, která hledáme. Čtyřmístná čísla se skládají ze čtyř číslic, například 1234. Součet číslic čísla se rovná součtu jeho číslic. Například součet číslic 1234 se rovná 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Nyní musíme najít všechna čtyřmístná čísla, jejichž součet číslic je 5.
Podívejme se, jak si lze představit čtyřmístná čísla, jejichž součet číslic je 5. Toto číslo si můžeme představit tak, že napíšeme 5 jednotek. Například 1111. Takových čísel je však velmi málo a musíme najít všechny možné kombinace, které dávají součet 5. K tomu budeme potřebovat kombinatoriku.
Kolik čtyřmístných čísel je součet číslic 5?
K zodpovězení této otázky je třeba zvážit všechny možné varianty čtyřmístných čísel, jejichž součet číslic je 5.
Protože čísla musí být čtyřmístná, první číslice nemůže být nulová. Takže máme 9 možných možností pro první číslici (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Pro zbývající tři číslice neexistují žádná taková omezení, takže mohou mít jakékoli hodnoty od 0 do 9.
Vzhledem k tomu, že součet číslic musí být 5, existuje několik možností, jak takovou částku získat:
- Součet tří číslic je 5. Tato možnost je možná pouze v případě, že všechny tři číslice jsou 1.
- Jedna z číslic je 3 a další dvě jsou 1.
- Jedna z číslic je 2 a další dvě jsou 1.
Existuje tedy několik variant čtyřmístných čísel, jejichž součet číslic je 5:
1114, 1131, 1141, 1211, 1311, 1411, 2111, 3111, 4111, 1123, 1132, 1212, 1221, 1312, 1321, 1412, 1421, 2112, 2121, 2211, 2311, 2411, 3112, 3121, 3211, 3311, 3411, 4112, 4121, 4211, 4311, 4411.
Existuje tedy 31 čtyřmístné číslo, jehož součet číslic je 5.
Řešení úlohy
Abychom našli počet čtyřmístných čísel, jejichž součet číslic je 5, můžeme použít kombinatorické uvažování. Pro pohodlí budeme počítat, že první číslice čísla nemůže být nula, takže máme dvě možnosti:
1. První číslice čísla je 1.
Vzhledem k tomu, že součet číslic čísla je 5, zbývající 3 číslice mohou být libovolná přirozená čísla od 1 do 9 (od 0 odmítáme, aby číslo zůstalo čtyřmístné). Počet možností pro první číslici se tedy rovná 1 a pro zbývající tři číslice– 9 * 9 * 9 = 729 (9 možností pro každou ze tří číslic). Celkem dostaneme 1 * 729 = 729 možností.
2. První číslice čísla je 2.
Vzhledem k tomu, že součet číslic čísla je 5, zbývající 3 číslice mohou být libovolná přirozená čísla od 0 do 8. Počet možností pro první číslici se tedy rovná 1 a pro zbývající tři číslice– 8 * 8 * 8 = 512 (8 možností pro každou ze tří číslic). Celkem dostaneme 1 * 512 = 512 možností.
Takže celkový počet čtyřmístných čísel, jejichž součet číslic je 5, se rovná 729 + 512 = 1241.