Zlomky jsou nedílnou součástí aritmetiky a matematiky obecně. Všichni si pamatujeme, jak se ve škole učili snižovat zlomky a dělit čísla jejich jmenovateli. Ale co zlomky, které nelze snížit? Existují takové zlomky a kolik jich je?
V tomto článku se podíváme na jeden konkrétní úkol: kolik existuje správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17? Abychom na tuto otázku odpověděli, připomeňme si pár pojmů ze školních osnov.
Správný zlomek je zlomek, ve kterém je čitatel menší než jmenovatel. Nedemokratický zlomek je zlomek, ve kterém čitatel a jmenovatel nemají společné dělitele kromě 1. V našem případě hledáme nedemokratické zlomky se jmenovatelem 17.
Jaký je počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17?
Číslo 17 je prvočíslo, což znamená, že jeho jmenovatel nemá jiné dělitele než 1 a sám sebe. Každé přirozené číslo menší než 17 by tedy bylo možným čitatelem pro správný nedemokratický zlomek se jmenovatelem 17.
Celkový počet takových zlomků lze určit pomocí Eulerova vzorce, který říká:
Počet nedemokratických zlomků = (jmenovatel - 1) / 2
V tomto případě se počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 rovná (17 - 1) / 2 = 8.
Existuje tedy 8 správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17.
Pojem správného zlomku
Například zlomky 1/2, 2/3, 3/4 a 5/7 jsou příklady správných zlomků, protože čitatelé jsou menší než jmenovatelé a tyto zlomky nemohou být reprezentovány celými čísly nebo nedemokratickými zlomky.
Zlomky, jejichž čitatel není menší než jmenovatel, se nazývají nepravidelné zlomky.
Pojem správného a nesprávného zlomku hraje důležitou roli, zejména při práci s zlomky při řešení úkolů, dělení, porovnávání atd.
Redukce zlomků
K určení kontraktility zlomku se jmenovatelem 17 je nutné najít všechna čísla od 1 do 17, která jsou děliteli 17. V tomto případě je číslo 17 prvočíslo, protože má pouze dva dělitele - 1 a sebe. Proto všechny čitatele, které nejsou násobky 17, tvoří správné nedemokratické zlomky se jmenovatelem 17.
Počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 se tedy rovná číslu všech čísel od 1 do 17 kromě samotného čísla 17.
Celkem existuje 16 správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17.
Definice nedemokratického zlomku
Chcete-li zjistit, zda je zlomek nedemokratický, musíte najít největší společný dělitel čitatele a jmenovatele. Pokud je tento největší společný dělitel roven 1, pak je zlomek nedemokratický.
Nedemokratické zlomky hrají v matematice důležitou roli. Umožňují vám představit zlomky v nejjednodušší a nejpohodlnější formě pro analýzu. Například při řešení problému zkrácení zlomku je vhodné jej nejprve přivést k nedemokratickému vzhledu. Také nedemokratické zlomky se používají v teorii pravděpodobnosti, kde pomáhají prezentovat poměr pravděpodobnosti událostí nejpřesnějším způsobem.
V tomto případě zkoumáním nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 můžeme zjistit, kolik takových zlomků existuje a jaké čitatele mohou mít. To nám pomůže lépe porozumět vlastnostem a vlastnostem zlomků obecně a zvážit konkrétní případ nedemokratických zlomků na příkladu čísla 17.
Velikost jmenovatele
Jmenovatel zlomku je číslo, které označuje, kolik částí musí být rozděleno celé číslo. Velikost jmenovatele určuje, na kolik částí lze celé číslo rozdělit.
V případě správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 je velikost jmenovatele 17. To znamená, že celé číslo lze rozdělit na 17 stejných částí.
Všechny správné nedemokratické zlomky se jmenovatelem 17 mohou být reprezentovány jako zlomek druhu 1 / n, kde n je jedno z čísel od 1 do 16, s výjimkou čísel, která jsou faktory 17 (1, 17). Existuje tedy 14 správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17.
Každý z těchto zlomků je správný, protože čitatel je vždy 1 a menší než jmenovatel.
Hledání správných nedemokratických zlomků
K nalezení všech správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 lze použít algoritmus založený na vlastnostech prvočísel a zlomků.
1. Začněte čitatelem rovným 1.
2. Zkontrolujte každé číslo od 2 do 16, zda je prvočíslo:
- Pokud je číslo prvočíslo a nerozděluje čitatele i jmenovatele, přidejte jej do seznamu správných nedemokratických zlomků.
Příklad: 2 je prvočíslo a nerozděluje čitatel a jmenovatel cíl, takže 2/17 je správně nedemokratický zlomek.
- Pokud je číslo prvočíslo a rozděluje čitatel na cíl, ale nesdílí jmenovatele, přeskočte jej a přejděte na další číslo.
Příklad: 3 je prvočíslo a rozděluje čitatel na cíl, ale nerozděluje jmenovatele 17 na cíl, takže 3/17 není správně nedemokratický zlomek.
- Pokud je číslo prvočíslo a rozděluje jmenovatele na cíl, ale nerozděluje čitatele, přeskočte jej a přejděte na další číslo.
Příklad: 5 je prvočíslo a rozděluje jmenovatel 17 na cíl, ale nerozděluje čitatel 1 na cíl, takže 5/17 není správně nedemokratický zlomek.
3. Opakujte kroky 2 a 3 pro všechna čísla od 2 do 16.
V důsledku provádění algoritmu najdeme všechny správné nedemokratické zlomky se jmenovatelem 17:
2/17, 3/17, 4/17, 6/17, 7/17, 8/17, 9/17, 10/17, 11/17, 12/17, 13/17, 14/17, 15/17, 16/17.
Úplné informace o správných nedemokratických zlomcích lze získat použitím algoritmu pro všechny možné jmenovatele.
Počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17
Prvočíslo 17 má 16 čitatelů, kteří jsou menší než on a jsou s ním vzájemně prvočísla. Všechna prvočísla kromě samotného čísla 17 jsou vzájemně prvočísla od 1 do 16. Čísla, která jsou násobky 17 (kromě samotného čísla 17), však s ním nejsou vzájemně jednoduchá, takže je třeba je vyloučit.
Počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 je tedy 16-počet násobků 17, které jsou menší než 17.
17 se dělí pouze na číslo 1 a na sebe, takže neexistují žádné násobky 17, které jsou menší než 17. Proto se počet správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17 rovná 16.
Takže jsme se podívali na úkol o počtu správných nedemokratických zlomků se jmenovatelem 17. V důsledku našich výpočtů jsme zjistili, že existuje 8 takových zlomků. Jsou reprezentovány následujícími hodnotami:
Všechny tyto zlomky jsou správné a nedemokratické, což znamená, že nemají společné dělitele kromě 1. Náš výzkum nám umožnil stanovit přesný počet takových zlomků a prezentovat je explicitně.