Mnohoúhelník je plochý geometrický obrazec tvořený úsečky, které se nazývají strany, a vrcholy, ve kterých se strany spojují. Každý roh mnohoúhelníku je tvořen průsečíkem dvou sousedních stran.
Pro zadání mnohoúhelníku můžete určit počet stran a hodnotu každého rohu. V tomto případě máme informace o dvou úhlech, z nichž každý je 120°, a zbývajících úhlech, které jsou 150°. Musíme určit celkový počet úhlů v tomto konvexním mnohoúhelníku.
K vyřešení tohoto problému můžete využít vlastnost součtu úhlů v mnohoúhelníku. Součet všech úhlů konvexního mnohoúhelníku je 180°*(n-2), kde n je počet jeho stran. V našem případě nemáme informace o počtu stran mnohoúhelníku, takže tuto hodnotu musíme vypočítat.
K tomu lze použít vzorec vzhledem k tomu, že součet všech úhlů se rovná součtu hodnot každého úhlu: 120° + 120° + 150° + 150° + . + 150° = 180°*(n-2). Nastavením hodnot můžeme vyjádřit n a určit počet úhlů v daném konvexním mnohoúhelníku.
Konvexní mnohoúhelník a jeho úhly
Každý konvexní mnohoúhelník má souvislost mezi počtem jeho úhlů a počtem jeho stran. Podle Eulerova vzorce pro ploché grafy se počet úhlů mnohoúhelníku rovná součtu počtu jeho stran a 2 mínus 4. To znamená, že pokud máme mnohoúhelník s n stranami, pak počet jeho úhlů bude n + 2.
V tomto případě máme dva rohy o 120° a zbývající úhly o 150°. Předpokládejme, že počet stran v mnohoúhelníku je n. vzhledem k Eulerovu vzorce můžeme zapsat rovnici:
n + 2 = počet úhlů = 2 * 120° + (n-2) * 150°
Při řešení této rovnice najdeme počet stran n:
n + 2 = 240° + 150°n - 300°
150°n - n = 240° + 2 + 300° - 2
n = 538° / 149° ≈ 3.61
Vzhledem k tomu, že počet stran by měl být celé číslo, v tomto případě by nejzákladnější celé číslo bylo 4.
Takže máme konvexní mnohoúhelník se čtyřmi stranami, respektive čtyřmi rohy. Dva z nich jsou 120° a zbývající dva jsou 150°.
Definice konvexního mnohoúhelníku
Konvexní se nazývá mnohoúhelník, který má všechny vrcholy uspořádané na jedné straně od jakékoli přímky vedené přes dva sousední vrcholy. To znamená, že úseky, které spojují jakékoli dva vrcholy, se nepřekrývají ani neleží uvnitř mnohoúhelníku.
Konvexní mnohoúhelníky mají řadu vlastností, které umožňují vypočítat jejich vlastnosti a provádět geometrické operace. Například součet všech vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku je vždy stejný (n-2) * 180°, kde n - počet vrcholů mnohoúhelníku.
V našem případě, pokud jsou dva úhly v konvexním mnohoúhelníku 120° a zbývající úhly jsou 150°, lze určit, že mnohoúhelník má 6 vrcholy a 6 roh. Součet všech vnitřních úhlů bude tedy stejný (6-2) * 180° = 4 * 180° = 720°. Toto je další vlastnost konvexních mnohoúhelníků, která nám umožňuje zkontrolovat správnost definice.
Nalezení počtu úhlů v konvexním mnohoúhelníku
Chcete-li najít počet úhlů v konvexním mnohoúhelníku, musíte znát hodnoty úhlů, které jsou známé. V tomto úkolu je známo, že dva úhly jsou 120° a ostatní úhly jsou 150°.
Chcete-li najít celkový počet úhlů, musíte součet hodnot všech úhlů rozdělit na hodnotu jednoho úhlu. V tomto případě víme, že dva úhly jsou 120°, takže součet hodnot úhlů bude roven 120° + 120° + (150° * (n-2)), kde n je počet úhlů v mnohoúhelníku.
Dále můžeme stanovit rovnost součtu hodnot úhlů a vyjádřit proměnnou n:
120° + 120° + (150° * (n-2)) = součet všech úhlů
Vyřešením této rovnice najdeme počet úhlů v konvexním mnohoúhelníku. Hodnota součtu všech úhlů bude záviset na konkrétním úkolu.
Pomocí tohoto vzorce můžete určit počet úhlů v jakémkoli konvexním mnohoúhelníku, pokud jsou známy hodnoty některých úhlů.
Příklad: polygon se dvěma rohy o 120° a zbývající úhly o 150°
Zvažte konvexní mnohoúhelník, který má dva úhly 120° a zbývající úhly jsou 150°. Rohy mnohoúhelníku mezi stranami jsou tvořeny body jejich průsečíku.
Máme dva úhly o 120° a ostatní úhly o 150°. Tyto úhly označíme jako A A B. Zavedeme také proměnnou n, která označuje počet úhlů mnohoúhelníku.
Je známo, že součet všech úhlů v mnohoúhelníku je 180°*(n-2). Také z vlastností konvexních mnohoúhelníků je známo, že součet všech úhlů by měl být 180°*n.
Takže máme rovnici.: 120° + 120° + 150°*( n-2) = 180°*n.
Při řešení této rovnice získáme:
240° + 150°n - 300° = 180°n.
Takže máme polygon se dvěma rohy o 120° a zbývající rohy o 150° a tento mnohoúhelník se skládá ze 2 úhlů.