Polygon je polygon, který je tvořen úsečemi spojujícími vrcholy. Vrcholy mnohoúhelníku jsou označeny písmenem n. Jak najdu počet vrcholů n podle daného součtu délek všech jeho stran sn? Tuto otázku probereme v tomto článku.
Pro začátek si všimneme, že všechny strany mnohoúhelníku jsou si rovny. Nechť je délka jedné strany rovna s. pak dostaneme následující vzorec pro součet délek všech stran: sn = ns.
K vyřešení problému musíme najít hodnotu n podle nastaveného s a sn. Rozdělíme obě části rovnice na S: n = sn/s. tím získáme vzorec pro nalezení počtu vrcholů mnohoúhelníku.
Polygon s n vrcholy: počet vrcholů SN=1080 a SN=10800
K vyřešení tohoto problému je nutné použít vzorec k nalezení součtu úhlů mnohoúhelníku. Součet úhlů sn mnohoúhelník s n vrcholy je vyjádřen následujícím vzorcem: sn = (n-2) * 180°
Pomocí tohoto vzorce můžeme najít počet vrcholů n při dané hodnotě součtu úhlů sn. K tomu musíme rozdělit hodnotu sn na (n-2) a výsledný výsledek zaokrouhlit na celé číslo.
1. Nastavíme hodnotu sn=1080 ve Formuli:
Dále vyřešíme rovnici:
1080 = 180n - 360
180n = 1080 + 360
Počet vrcholů mnohoúhelníku sn=1080 se rovná 8.
2. Nastavíme hodnotu sn=10800 ve Formuli:
Dále vyřešíme rovnici:
10800 = 180n - 360
180n = 10800 + 360
Počet vrcholů mnohoúhelníku sn=10800 je přibližně 62.
Jak zjistím počet vrcholů mnohoúhelníku?
Pokud je známa délka jedné strany mnohoúhelníku (s) a poloměr jeho vepsaného kruhu( r), lze použít vzorec:
- Počet vrcholů (n) = 360 / arxinus (180 / n)
K nalezení počtu vrcholů mnohoúhelníku při známé délce strany (s=1080) je tedy nutné vyřešit následující rovnici:
- n = 360 / arxinus(180 / 1080)
Stejně tak pro nalezení počtu vrcholů v dané délce strany (s=10800) je nutné vyřešit rovnici:
- n = 360 / arxinus(180 / 10800)
Při znalosti počtu vrcholů mnohoúhelníku je možné provést jeho konstrukci a vypočítat další charakteristiky, jako jsou délky stran a poloměry kružnic.
Vzorec pro výpočet počtu vrcholů
K nalezení počtu vrcholů mnohoúhelníku s danou plochou lze použít následující vzorec:
| Plocha polygonu (sn) | Vzorec pro výpočet počtu vrcholů (n) |
|---|---|
| 1080 | n = sqrt(1080/3)*2 |
| 10800 | n = sqrt(10800/3)*2 |
- n-počet vrcholů mnohoúhelníku,
- Sn - oblast mnohoúhelníku.
Tento vzorec je založen na vlastnostech mnohoúhelníků a umožňuje najít počet vrcholů pro danou oblast.
Výpočet pro sn=1080
K nalezení počtu vrcholů n mnohoúhelníku se součtem délek stran SN=1080 je třeba vyřešit rovnici:
n * (n - 3) * 180 / 2 = sn
Vložením hodnoty sn=1080 do rovnice získáme:
n * (n - 3) * 180 / 2 = 1080
Zjednodušením rovnice získáme:
Zvažte všechny možné hodnoty n:
- n = 4: 4 * (4 - 3) = 4, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 5: 5 * (5 - 3) = 10, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 6: 6 * (6 - 3) = 18, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 7: 7 * (7 - 3) = 28, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 8: 8 * (8 - 3) = 40, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 9: 9 * (9 - 3) = 54, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 10: 10 * (10 - 3) = 70, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 11: 11 * (11 - 3) = 88, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 12: 12 * (12 - 3) = 108, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 13: 13 * (13 - 3) = 130, nesplňuje podmínku rovnice
- n = 14: 14 * (14 - 3) = 154, nesplňuje podmínku rovnice
Pro SN=1080 tedy neexistuje polygon s celým počtem vrcholů.
Výpočet pro sn=10800
Pro výpočet počtu vrcholů mnohoúhelníku při sn=10800 můžeme použít vzorec:
Vložíme hodnotu sn=10800 do vzorce a provedeme výpočty:
n = (360 × 10800) / (180 - 10800) = (360 × 10800) / 10980 = 36
Při sn=10800 se tedy počet vrcholů mnohoúhelníku rovná 36.