Umístění knih na polici je pro mnoho lidí fascinující hádanka. Zvláště pokud je třeba brát v úvahu různé podmínky a omezení.
Představte si polici, na které můžete umístit 6 knih. Z těchto 6 knih jsou 4 svazky jedné série. Otázkou je, kolik různých způsobů, jak umístit všechny tyto knihy na polici, existuje?
K zodpovězení této otázky můžeme použít kombinatorické metody. Nejprve zvažte, kolik existuje způsobů, jak umístit pouze 4 svazky jedné série na polici. To lze provést pomocí vzorce umístění bez opakování.
Počáteční podmínky pro umístění knih na polici
Při umístění knih na polici se berou v úvahu následující faktory:
- Počet knih: na polici by mělo být umístěno 6 knih.
- Zahrnutí 4 svazků: ze všech 6 knih jsou 4 knihy svazky.
Při řešení tohoto problému o kombinatorice je třeba vzít v úvahu, že pořadí umístění knih na polici je důležité. Každý svazek je jedinečný a bude mít svou pozici v řádku.
První způsob umístění knih na polici
Umístění knih na polici si lze představit jako přeskupení 4 svazků a 2 zbývajících knih. Počet způsobů uspořádání 4 svazků lze definovat jako 4! (faktoriál). Stejně tak lze počet způsobů uspořádání 2 zbývajících knih definovat jako 2!.
Celkový počet způsobů, jak umístit knihy na polici, s přihlédnutím k tomu, že svazky musí být blízko, lze pak definovat jako součin počtu způsobů uspořádání 4 svazků a počtu způsobů umístění 2 zbývajících knih.
Celkový počet způsobů, jak umístit knihy na polici, bude 4! * 2!. Nastavíme hodnoty: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24, 2! = 2 * 1 = 2.
Takže první způsob umístění knih na polici je 24 * 2 = 48.
Uveďte všech 48 možností umístění knih na polici:
- 4 svazky, 2 zbývající knihy .
- 2 zbývající knihy, 4 svazky
Druhý způsob umístění knih na polici
Druhým způsobem, jak umístit knihy na polici, je vybrat místo pro každý svazek ze čtyř dostupných. Vzhledem k tomu, že každou knihu lze umístit pouze jednou, počet způsobů, jak umístit 6 knih, včetně 4 svazků, lze vypočítat podle vzorce permutací bez opakování.
Počet způsobů, jak umístit 6 knih touto metodou, se vypočítá následovně:
n! / (n-k)!, kde n-celkový počet knih (6), K - počet svazků (4).
Druhý způsob umístění knih na polici nám tedy dává n! / (n-k)! = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 způsobů.
Máme tedy 360 jedinečných způsobů, jak umístit 6 knih na polici, včetně 4 svazků.
Třetí způsob umístění knih na polici
Čtvrtý způsob umístění knih na polici
Tímto způsobem umístíme 4 svazky na polici a zbývající dvě místa vyplníme dvěma libovolnými knihami ze zbývajících.
| Místo | Knížka |
|---|---|
| 1 | Svazek 1 |
| 2 | Svazek 2 |
| 3 | Svazek 3 |
| 4 | Svazek 4 |
| 5 | Libovolná kniha 1 |
| 6 | Libovolná kniha 2 |
Nakonec máme v Poličce následující umístění knih:
- Svazek 1
- Svazek 2
- Svazek 3
- Svazek 4
- Libovolná kniha 1
- Libovolná kniha 2
Tento způsob umístění zajišťuje, že všechny 4 svazky budou umístěny na polici, ale ponechává prostor pro další knihy.
Poslední způsob umístění knih na polici
Možné jsou následující možnosti umístění knih na polici:
S tímto umístěním na polici budou knihy s svazky umístěny na začátku a knihy bez svazků na konci.