Blaise Pascal, francouzský matematik ze 17.století, je známý pro svůj výzkum kombinatoriky. Jedním z nejznámějších úkolů spojených s jeho jménem je určit počet hus a králíků.
Představme si, že máme 64 zvířat a všechna mají pár tlapek. Úkolem je určit, kolik z nich jsou husy a kolik jsou králíci.
Předpokládejme, že všech 64 zvířat jsou králíci. V tomto případě budeme mít 128 tlapek. Víme však, že jen tlapek je 64, takže 64 z nich by mělo patřit husám. Takže v naší skupině spolu s králíky mohou být pouze 64 - 2 * 32 = 0 Hus.
Pokud tedy máme 64 tlapek a žádné husy, pak všech 64 zvířat musí být králíci. Neexistují žádné další možnosti, o kterých by se mělo mluvit.
Jak vypočítáte počet králíků a hus se znalostí pascalových čísel?
K vyřešení problému počtu tlapek králíků a hus můžeme použít Pascalova čísla:
- Zvažte počet tlapek v páru hus a králíků - 64 tlapek.
- Všimněte si, že každý pár hus a králíků dává 4 tlapky (2 tlapky od husy a 2 tlapky od králíka).
- Nyní můžeme počet tlapek rozložit na Pascalova složená čísla.
Nechť se počet párů hus a králíků rovná n. Pak se součet tlapek rovná 4n. Předpokládejme, že Pascalovo číslo, které používáme v rozkladu, se rovná k. Pak můžeme napsat rovnici.:
Rozkladem počtu tlapek na Pascalova čísla můžeme získat sadu hodnot pro k, které odpovídají počtu možných párů hus a králíků.
Například pokud uvažujeme o Pascalově množině čísel [1, 3, 3, 1] rovnice bude mít podobu:
4n = 1 + 3 + 3 + 1 = 8
V tomto případě se tedy počet párů hus a králíků rovná 8. Abychom zjistili počet hus a králíků, můžeme toto číslo rozdělit na 2 (každý pár obsahuje jednu husu a jednoho králíka). Výsledkem jsou 4 husy a 4 králíci.
Pomocí pascalových čísel tedy můžeme efektivně vypočítat počet králíků a hus na základě počtu tlapek. Tato metoda může být použita k řešení podobných problémů i v jiných kontextech.
Co jsou Pascalova čísla?
Pascalova čísla, pojmenovaná po francouzském matematikovi Blaise Pascalovi, jsou trojúhelníkem čísel, který má mnoho zajímavých vlastností. V každém řádku trojúhelníku Pascalova čísla se součet všech čísel rovná stupni dvojky.
Základní vlastnosti pascalových čísel:
1. V prvním řádku trojúhelníku je jednotka: 1.
2. V každém řádku trojúhelníku jsou extrémní čísla jednotkou.
3. Každé číslo uvnitř trojúhelníku se rovná součtu dvou čísel umístěných nad ním v předchozím řádku.
Například druhý řádek trojúhelníku má čísla 1 a 1. Třetí řádek bude mít čísla 1, 2 a 1. Čtvrtý řádek bude mít čísla 1, 3, 3 a 1 a tak dále.
Pascalův trojúhelník čísel může být reprezentován jako tabulka, kde je každé číslo pod dvěma čísly umístěnými nad ním.
| 1 | |||||
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 2 | 1 | |||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Pascalova čísla mají mnoho aplikací v matematice, kombinatorice, binomické teorii a dalších oblastech. Používají se k řešení kombinačních problémů, k výpočtu binomických koeficientů a k modelování růstu biologických populací.
Jak používáte Pascalova čísla k vyřešení problému s počtem tlapek?
K vyřešení tohoto problému o počtu tlapek lze Pascalova čísla použít následovně:
- Nechť je počet Hus označen proměnnou g a počet králíků-prostřednictvím proměnné k.
- Protože každá husa má dvě tlapky a každý králík čtyři, lze napsat rovnici 2g + 4k = 64, kde 64 je celkový počet tlapek.
- Víme také, že celkový počet hus a králíků je 64, to znamená g + k = 64.
- Lze si všimnout, že rovnice g + k = 64 velmi podobný Pascalově dvourozměrnému trojúhelníku, kde čísla v řádku označují počet hus a čísla ve sloupci počet králíků.
- Pomocí vlastností pascalových čísel můžeme určit, jaký počet hus a králíků tento úkol splňuje.
To je jen jeden způsob, jak použít Pascalova čísla k vyřešení problému počtu tlapek u hus a králíků. Mohou být také použity v různých dalších matematických a vědeckých úkolech.
Příklad řešení problému pomocí pascalových čísel
Problém počtu tlapek u hus a králíků lze snadno vyřešit pomocí pascalových čísel. Podívejme se na tento příklad podrobněji.
Předpokládejme, že počet Hus v tomto úkolu je označen jako G a počet králíků je označen jako k.víme, že každá husa má 2 tlapky a každý králík 4 tlapky.
Nyní můžeme vytvořit systém rovnic pomocí dat prezentovaných v úkolu. Máme dvě rovnice:
- Celkem 64 tlapek:
- 2G + 4K = 64
- Celkem 32 zvířat:
- G + K = 32
Tento systém rovnic můžeme vyřešit pomocí pascalových čísel. Abychom například určili, kolik Hus bylo, můžeme použít pascalovo číslo 3.řádu.
Pascalova čísla jsou trojúhelník čísel, který se skládá ze součtu dvou čísel výše. Například pro sestavení pascalových čísel 3. řádu musíme sčítat Pascalova čísla 2. řádu:
Pascalovo číslo 3. řádu je tedy 1, 2, 1.
Vložením Pascalova čísla 3. řádu do rovnice můžeme vypočítat počet Hus: 2 * 1 + 4 * 2 + 1 * G = 64. Když vyřešíme tuto rovnici, zjistíme, že G = 12.
Nyní můžeme počet králíků určit pomocí druhé rovnice: K = 32-G = 32-12 = 20.
Takže v našem úkolu bylo 12 hus a 20 králíků.
- Za úkol se považují husy a králíci, kteří mají po dvou tlapkách.
- Celkový počet tlapek je 64.
- Je třeba určit, kolik bylo hus a kolik bylo králíků.
K vyřešení problému lze použít Pascalův algoritmus, který vám umožní najít celkový počet zvířat, pokud je znám celkový počet tlapek.
V tomto případě lze předpokládat, že počet hus a králíků odpovídá číslům v Pascalově trojúhelníku:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
Sečtením čísel v Pascalově trojúhelníku s hodnotou 64 lze tedy určit, že možnými možnostmi jsou 14 hus a 50 králíků nebo 26 hus a 38 králíků.
Alternativní způsoby řešení problému počtu tlapek u hus a králíků
Problém počtu tlapek u hus a králíků lze vyřešit nejen použitím algebraických rovnic a rovnicových systémů, jak je tomu v hlavním článku. V této části se podíváme na několik alternativních způsobů řešení.
Grafická metoda: Tento úkol lze představit ve formě grafu. Nechť je na ose X označen počet hus a na ose Y počet králíků. Pak lze rovnici pro počet tlapek zapsat jako 2x + 4y = 64. Nakreslíme přímku, která tuto rovnici nastaví. Najdeme průsečík přímky s osami souřadnic. Její souřadnice jsou odpovědí na daný úkol.
Metoda přerušení: Můžete také procházet všechny možné hodnoty počtu hus a králíků a zkontrolovat splnění podmínky úkolu. Začněme minimálními hodnotami, kdy se počet hus a králíků rovná 0 a postupně zvyšujeme jejich počet. Jakmile počet tlapek přesáhne 64, tak jsme našli všechny možné kombinace. Napíšeme počet hus a králíků, ve kterých je součet tlapek 64.
Rekurzivní metoda: Tento problém lze vyřešit pomocí rekurze. Vytvoříme funkci, která přijme počet hus a králíků. Pokud je součet tlapek 64, funkce se zastaví a vrátí počet hus a králíků. Pokud je součet tlapek menší než 64, voláme funkci s novými hodnotami - zvýšíme počet hus nebo králíků a znovu zkontrolujeme. Funkce se tedy vyvolá, dokud se nenajdou všechny možné kombinace, které splňují podmínku úkolu.