Aby bylo možné určit , kolik intervalů vzestupu má funkce f(x) = x 3 + 3x 2, je nutné analyzovat její derivát. Zvažte tuto funkci kriticky a vypočítejte její derivát.
Nechť je F ' (x) derivátem funkce f (x). Derivát funkce f(x) = x 3 + 3x 2 se vypočítá podle pravidel diferenciace stupňovité funkce a bude roven f'(x) = 3x 2 + 6x.
Z výrazu pro derivát f ' (x) = 3x 2 + 6x je vidět, že funkce má dva kořeny, které se rovnají 0 a -2. To znamená, že funkce mění směr svého růstu nebo poklesu v těchto bodech. To znamená, že v intervalech mezi těmito body se funkce zvyšuje.
Počet intervalů zvyšování
Derivát funkce f'(x) = 3x^2 + 6x je polynom druhého stupně. Nacházíme kořeny derivátu a rovnáme je nule:
Derivát f ' (x) je tedy nulový při x = 0 a x = -2.
Máme tedy dva body, kde může funkce změnit svou výšku - x = 0 a x = -2. Máme tedy dva vzestupné intervaly funkce f (x) = x^3 + 3x^2:
V těchto intervalech se funkce f (x) zvyšuje s růstem x.
Jak zjistím počet intervalů zvýšení funkce f (x)?
Abychom určili počet intervalů vzestupu funkce f (x), musíme najít hodnoty x, ve kterých je odvozená funkce nulová nebo neexistuje. Mezi těmito hodnotami x budou intervaly zvyšující se funkce.
Pro funkci f (x) = x^3 + 3x^2, najdeme její derivát:
Abychom našli hodnoty x, ve kterých je derivace nulová, vyřešíme rovnici:
Pro tuto rovnici můžeme použít faktorizaci nebo vzorec odmocniny.
Dostaneme dvě hodnoty x: x = 0 a x = -2.
Nyní umístíme tyto hodnoty x na číselnou přímku a vybereme bod z každého intervalu tvořeného hodnotami x:
Vložíme tyto hodnoty x do původní funkce f (x) = x^3 + 3x^2 a definujeme znaménko výsledků:
- f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -18 < 0
- f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 < 0
- f(1) = 1^3 + 3(1)^2 = 4 > 0
Na základě značek výsledků se funkce f(x) zvyšuje v prvním a třetím intervalu a ve druhém intervalu klesá.
Funkce f (x) = x^3 + 3x^2 má tedy dva vzestupné intervaly.
Analýza funkce f (x) = x^3 + 3x^2
Pro analýzu funkce f (x) = x^3 + 3x^2 je nutné určit intervaly vzestupu a poklesu, extrémy a body přetížení.
Pro začátek najdeme derivát funkce f (x). Derivace funkce f (x) je 3x^2 + 6x. Jak je vidět, derivát má pouze kladné koeficienty, což znamená, že funkce se zvyšuje v celé číselné přímce bez extrémních bodů.
Funkce f (x) = x^3 + 3x^2 se tedy zvyšuje v celé číselné přímce.
Nyní se podíváme na body skloňování funkce. K tomu najdeme druhou derivaci. Druhá derivace je 6x + 6. Vyřešíme rovnici 6x + 6 = 0. Dostaneme x = -1. Bod přetížení funkce je tedy při x = -1.
Takže funkce f (x) = x^3 + 3x^2 se zvyšuje na celé číselné přímce bez extrémních bodů a její bod přetížení je při x = -1.