Kužel je geometrický obrazec, který má jeden vrchol a prohlubuje se do roviny základny. Jedním z důležitých parametrů kužele je jeho tvarovaná čára spojující vrchol kužele s body na jeho základně. Plocha povrchu kužele hraje důležitou roli při řešení mnoha problémů geometrie a fyziky.
Jednou ze zajímavých otázek spojených s kužely je změna plochy povrchu při změně délky tvořící. V tomto článku se podíváme na to, co se stane s plochou povrchu kužele, když se zvětší 40krát.
Pro začátek si připomeňme vzorec pro výpočet plochy kužele. Plocha povrchu kužele se rovná součtu plochy jeho základny a plochy bočního povrchu. Vzhledem k tomu, že základna kužele je kruh, lze její plochu spočítat podle vzorce S = πr^2, Kde π je matematická konstanta a r je poloměr základny. Plochu bočního povrchu kužele lze vypočítat podle vzorce S = πrl, kde je kužel tvořící l.
Jak se změní povrch kužele
Plocha kužele se může změnit, když se zvětší 40krát. Zvažte tuto změnu.
Povrch kužele lze vypočítat podle vzorce:
kde S je povrchová plocha, π je matematická konstanta (přibližná hodnota 3.14), R - poloměr základny kužele, l - tvořící kuželku.
Pokud zvětšíte tvarovaný kužel 40krát, pak nová hodnota tvořící bude 40L. vložením této hodnoty do vzorce pro povrchovou plochu získáme:
Všimněte si, že poloměr základny kužele se nemění, takže r zůstává stejný.
Dále otevřeme závorky a zjednodušíme výraz:
Plocha povrchu kužele se tak zvýší 40krát, když se zvětší 40krát.
Počáteční vzorec plochy kužele
Povrch kužele se skládá ze dvou částí: základny a bočního povrchu. Povrch kužele lze vypočítat podle následujícího vzorce:
S = P r (r + l)
kde S - plocha povrchu kužele,
P - číslo pí se blíží 3,14,
r - poloměr základny kužele,
l - kuželový tvar, vzdálenost mezi vrcholem a středem základny kužele.
Tento vzorec umožňuje vypočítat plochu povrchu kužele při daných hodnotách poloměru a tvořící. Pokud se však tvarovaný změní, změní se také plocha povrchu kužele. Podívejme se, jak se změní povrch kužele, když se zvětší 40krát.
Změna je čtyřicetinásobná
Povrch kužele se vypočítá podle vzorce:
S = πr(r + l),
kde S - povrchová plocha, π - matematická konstanta, přibližně 3,14, r - poloměr základny, l – tvořící.
Při čtyřicetinásobném zvětšení se plocha povrchu změní. Všimněte si, že poloměr základny kužele zůstane nezměněn, protože nezávisí na tvořící. Nicméně, tvořící ovlivňuje povrch, vzhledem k tomu, že je jedním z koeficientů ve vzorci.
Ať původní tvar má význam l0 a zvětšený tvar je roven l1. Pak bude plocha povrchu před zvětšením tvořící se rovna:
Po 40násobném zvětšení bude plocha rovna:
Takže po 40násobném zvětšení se plocha povrchu kužele zvýší na 40πr. To znamená, že plocha povrchu se oproti původnímu zvětší 40krát.
Jak to ovlivňuje povrch kužele
Pokud se výsledný kužel zvětší 40krát, způsobí to výraznou změnu plochy povrchu kužele. Při zvětšení tvořící se poloměr základny se také proporcionálně změní, protože kužel je geometrické těleso se sférickým tvarem.
Změna povrchové plochy kužele závisí na tom, jak moc se poloměr základny změní, když se vytvoří. Pokud se poloměr dostatečně zvýší, zvětší se také plocha povrchu kužele. Pokud se poloměr mírně změní, změní se proporcionálně i plocha povrchu kužele.
Důležité je, že bude ovlivněn i tvar kužele. Pokud má kužel ostřejší úhel sklonu,pak se jeho povrch změní více, když se změní tvar. Pokud je úhel sklonu méně ostrý, bude změna plochy méně významná.
40násobná změna tvořícího kužele by tedy měla dopad na povrch kužele, což by vedlo buď k jeho významnému zvětšení, nebo k nepatrné změně, v závislosti na poměru mezi změnou tvořícího a poloměru základny. Kromě toho bude mít tvar kužele také svůj vliv na změnu povrchu kužele.
Výsledkem je nová plocha povrchu kužele
Při čtyřicetinásobném zvětšení se změní i plocha povrchu kužele. Je známo, že povrch kužele je vypočítán podle vzorce:
kde S je povrchová plocha, π je číslo Pi (přibližně 3.14159), r je poloměr základny kužele, l je délka kužele, který tvoří.
Předpokládejme, že původně tvarovaný kužel byl l0 a po zvětšení se stal L1 = 40 * l0.
Takže nová plocha povrchu kužele S1 bude rovna:
S1 = π * r * (r + l1).
Když nastavíme hodnotu l1, dostaneme:
S1 = π * r * (r + 40 * l0).
Takže při 40násobném zvětšení se plocha kužele změní a nová plocha bude záviset na hodnotách poloměru základny a původní délce kužele, který tvoří.