Parabola - je to matematická funkce, která má tvar oblouku a je jedním ze základních geometrických tvarů. Je důležité umět vytvořit tabulku hodnot pro funkce, abyste porozuměli jejich grafům a vlastnostem. V tomto článku se podíváme na to, jak vytvořit tabulku hodnot pro funkci paraboly, která se často vyskytuje v programu 8 tříd.
Pro vytvoření tabulky hodnot funkce paraboly je nutné znát její rovnici. Rovnice paraboly má tvar y = ax^2 + bx + c, kde a, b a c - jsou to koeficienty, které určují tvar a polohu paraboly. Vezměme si například parabolovou rovnici y = x^2 - 2x - 3.
Chcete-li vytvořit tabulku hodnot funkce paraboly, nastražte různé hodnoty argumentu x do rovnice a vypočítat odpovídající hodnoty funkce y. Pokud například vezmeme x = -2, to y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5. Proto, při x = -2 význam funkce y bude to 5.
Definice paraboly a její hlavní vlastnosti
Základní vlastnosti paraboly:
- Ohnisková vlastnost: Parabola má zaměření a přímou režii. Ohnisková vlastnost paraboly je, že jakýkoli bod paraboly se rovná zaostření a režii.
- Symetrie: parabola je symetrická vzhledem k ose symetrie, která prochází ohniskem a je kolmá k ředitelce.
- Vrchol: Vrchol paraboly je bod, ve kterém parabola protíná osu symetrie. Souřadnice vrcholu jsou určeny vzorci.
- Otevřenost: Parabola může směřovat nahoru nebo dolů, v závislosti na znaménku koeficientu při čtverci proměnné v kvadratické funkci.
Tabulka hodnot funkce paraboly umožňuje určit souřadnice bodů, kterými parabola prochází. Chcete-li vytvořit tabulku hodnot, musíte vybrat některé hodnoty proměnné a vložit je do rovnice paraboly. Poté se vypočítají příslušné hodnoty funkce a zanesou se do tabulky.
Zde je příklad tabulky hodnot funkce paraboly:
| Hodnota x | Hodnota y |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Tato tabulka obsahuje souřadnice pěti bodů, které leží na parabole. Ty jsou odvozeny substitucí hodnot proměnné do rovnice paraboly a výpočtem příslušných hodnot funkce.
Rovnice paraboly v obecné podobě a její graf
V této rovnici:
- a-koeficient na druhou proměnnou x, který je zodpovědný za stupeň vyboulení paraboly;
- B-koeficient s proměnnou x zodpovědný za horizontální posun paraboly;
- C je volný člen zodpovědný za vertikální posun paraboly.
Chcete-li vytvořit graf paraboly pomocí tabulky hodnot, musíte vybrat některé hodnoty proměnné X a vypočítat příslušné hodnoty funkce y. tyto hodnoty lze zapsat do tabulky a podle nich sestavit graf.
Vybereme hodnoty x od -5 do 5 v krocích po 1 a vložíme je do rovnice paraboly, abychom určili hodnoty y:
| x | y = ax 2 + bx + c |
|---|---|
| -5 | |
| -4 | |
| -3 | |
| -2 | |
| -1 | |
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 |
Vložením různých hodnot x do rovnice paraboly získáme odpovídající hodnoty y, které vyplněním tabulky nám umožní sestavit graf paraboly. K tomu stačí označit výsledné hodnoty na souřadnicové rovině podél OS x a y a spojit je plynulou křivkou. Podle tabulky hodnot funkce paraboly tedy můžeme sestavit její graf a názorněji si představit závislost mezi proměnnými x a y v parabolové rovnici.
Způsoby, jak vytvořit tabulku hodnot funkce paraboly
Při sestavování tabulky hodnot funkce paraboly je třeba znát rovnici paraboly druhu y = ax^2 + bx + c. Pomocí této rovnice lze snadno určit hodnoty funkce pro různé hodnoty x.
První způsob, jak vytvořit tabulku hodnot funkce paraboly, nastává substitucí různých hodnot x do rovnice paraboly a nalezení příslušných hodnot y. Například, pokud rovnice paraboly y = 2x^2 + 3x - 1, lze vybrat různé hodnoty x, jako -2, -1, 0, 1, 2, a dát je do rovnice, aby získaly odpovídající hodnoty y.
Druhým způsobem, jak vytvořit tabulku hodnot funkce paraboly, je použití grafu paraboly. Vytvořte graf paraboly pomocí rovnice paraboly. Poté vyberte více hodnot x na grafu. Najděte příslušné hodnoty y čtením souřadnic bodů v grafu. Zapište si tyto hodnoty do tabulky.
Vždy pamatujte, že tabulka hodnot funkce paraboly pomáhá vizualizovat vztah mezi hodnotami x a y. Je to užitečný nástroj pro pochopení toho, jak se funkce mění v závislosti na x.
Příklady sestavení tabulky hodnot pro konkrétní parabolu
Abychom lépe porozuměli procesu sestavování tabulky hodnot pro parabolu, zvažte několik příkladů:
- Příklad 1: funkce y = x^2 Tato funkce je jednoduchá parabola symetrická vzhledem k ose Oy. Chcete-li vytvořit tabulku hodnot pro danou parabolu, vybereme několik libovolných hodnot pro proměnnou x a vložíme je do funkce:
- x = -2, y = (-2)^2 = 4
- x = -1, y = (-1)^2 = 1
- x = 0, y = 0^2 = 0
- x = 1, y = 1^2 = 1
- x = 2, y = 2^2 = 4
Tabulka hodnot tedy bude mít následující pohled:
| x | y |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
- x = -2, y = -2(-2)^2 + 3(-2) = -8 - 6 = -14
- x = -1, y = -2(-1)^2 + 3(-1) = -2 - 3 = -5
- x = 0, y = -2(0)^2 + 3(0) = 0
- x = 1, y = -2(1)^2 + 3(1) = -2 + 3 = 1
- x = 2, y = -2(2)^2 + 3(2) = -8 + 6 = -2
Získáme tedy tabulku hodnot:
| x | y |
|---|---|
| -2 | -14 |
| -1 | -5 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | -2 |
- x = -2, y = (-2 - 1)^2 + 2 = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11
- x = -1, y = (-1 - 1)^2 + 2 = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6
- x = 0, y = (0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3
- x = 1, y = (1 - 1)^2 + 2 = (0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2
- x = 2, y = (2 - 1)^2 + 2 = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3
Tabulka hodnot tedy bude vypadat následovně:
| x | y |
|---|---|
| -2 | 11 |
| -1 | 6 |
| 0 | 3 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
Praktické úkoly pro upevnění dovednosti při sestavování tabulky hodnot funkce paraboly
Chcete-li upevnit dovednost sestavování tabulky hodnot funkce paraboly, doporučujeme vyřešit několik praktických úloh. Tyto úkoly vám umožní uplatnit získané znalosti v praxi a zlepšit vaši dovednostní základnu.
1. Úkol: najít hodnoty funkce y = x^2-3x + 2 Pro X od -2 do 2.
Řešení: pro každou hodnotu x z intervalu [-2, 2] vložíme ho do funkce a dostaneme hodnotu y.
x = -2: y = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
x = -1: y = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
x = 0: y = (0)^2 - 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
x = 1: y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
x = 2: y = (2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0
2. Úkol: najít hodnoty funkce y = 2x^2 + x-3 pro x -3 až 3.
Řešení: pro každou hodnotu x z intervalu [-3, 3] vložíme ho do funkce a dostaneme hodnotu y.
x = -3: y = 2(-3)^2 + (-3) - 3 = 18 - 3 - 3 = 12
x = -2: y = 2(-2)^2 + (-2) - 3 = 8 - 2 - 3 = 3
x = -1: y = 2(-1)^2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 = -2
x = 0: y = 2(0)^2 + (0) - 3 = 0 + 0 - 3 = -3
x = 1: y = 2(1)^2 + (1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 0
x = 2: y = 2(2)^2 + (2) - 3 = 8 + 2 - 3 = 7
x = 3: y = 2(3)^2 + (3) - 3 = 18 + 3 - 3 = 18
3. Úkol: najít hodnoty funkce y = - 5x^2 + 4x + 1 pro x -1 až 4.
Řešení: pro každou hodnotu x z intervalu [-1, 4] vložíme ho do funkce a dostaneme hodnotu y.
x = -1: y = -5(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -5 - 4 + 1 = -8
x = 0: y = -5(0)^2 + 4(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
x = 1: y = -5(1)^2 + 4(1) + 1 = -5 + 4 + 1 = 0
x = 2: y = -5(2)^2 + 4(2) + 1 = -20 + 8 + 1 = -11
x = 3: y = -5(3)^2 + 4(3) + 1 = -45 + 12 + 1 = -32
x = 4: y = -5(4)^2 + 4(4) + 1 = -80 + 16 + 1 = -63
Jak se takové úkoly řeší, budete si stále více zvykat na proces sestavování tabulky hodnot funkce paraboly a dosáhnete dovednosti v této dovednosti.