Správný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny strany a úhly stejné. Na rozdíl od libovolných trojúhelníků má správný trojúhelník několik zajímavých vlastností, z nichž jedna je spojena s kružnicemi. Zajímalo by mě, jak najít obvod takového trojúhelníku, pokud je znám poloměr jeho vepsaného kružnice?
Pro začátek se podívejme na to, co je vepsaný kružnice. Vepsaný kružnice je kružnice, která se dotýká všech tří stran trojúhelníku. U správného trojúhelníku prochází poloměr vepsaného kružnice středem všech jeho stran.
Abychom našli obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice, můžeme použít vzorec, který bere v úvahu spojení poloměru kružnice a strany trojúhelníku. Vzorec obvodu správného trojúhelníku má vzhled:
Kde P - obvod trojúhelníku, r - poloměr kružnice. Z tohoto vzorce je zřejmé, že obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice je součin poloměru vepsaného kružnice číslem 3.
Určení správného trojúhelníku vepsaného do kružnice
Správný trojúhelník je vepsán do kružnice, pokud všechny jeho vrcholy leží na kružnici a všechny jeho strany jsou si navzájem rovny. V tomto trojúhelníku jsou všechny úhly 60 stupňů.
K určení správného trojúhelníku vepsaného do kružnice lze použít následující znaky:
- Všechny strany trojúhelníku jsou si rovny. To lze zkontrolovat pravítkem nebo měřicí páskou.
- Všechny úhly trojúhelníku jsou 60 stupňů. To lze zkontrolovat pomocí transportéru.
- Vrcholy trojúhelníku leží na kružnici. Chcete-li to provést, můžete nakreslit kružnici procházející všemi třemi vrcholy trojúhelníku a zkontrolovat, že prochází přesně každým vrcholem.
Pokud jsou splněny všechny podmínky, lze trojúhelník považovat za správný a vepsaný do kružnice. Takový trojúhelník má řadu vlastností spojených s jeho stranami, úhly a středem kružnice. Například jeho obvod, poloměr kružnice a délka každé strany lze vyjádřit jedním parametrem - délkou strany trojúhelníku.
Určení a studium správného trojúhelníku vepsaného do kružnice má praktické využití v různých oblastech, jako je geometrie, stavba, fyzika a další.
Věta o obvodu správného trojúhelníku vepsaného do kružnice
Obvod správného trojúhelníku vepsaného do obvodu poloměrem R je 3R.
Obvod správného trojúhelníku lze použít k nalezení poloměru, stejně jako k nalezení plochy a dalších charakteristik daného trojúhelníku. Když znáte obvod trojúhelníku, můžete určit délku jeho stran a úhly. Tato věta může být také použita při řešení problémů geometrie a při studiu vlastností správných mnohoúhelníků.
Vzorec pro výpočet obvodu
K výpočtu obvodu správného trojúhelníku, který je vepsán do obvodu, lze použít následující vzorec:
- Najděte poloměr kružnice, do které je trojúhelník vložen.
- Vynásobte poloměr 2, abyste získali délku strany trojúhelníku.
- Vynásobte délku strany 3, protože správný trojúhelník má tři strany stejné délky.
- Obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice lze tedy vypočítat podle vzorce: obvod = délka strany x 3.
Pokud je například poloměr kružnice, do které je trojúhelník vložen, 5, pak délka strany trojúhelníku bude 2 x 5 = 10. Obvod bude 10 x 3 = 30.
Příklad výpočtu obvodu
Pro výpočet obvodu správného trojúhelníku vepsaného do kružnice je nutné znát poloměr kružnice. Obvod tohoto trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce:
| Obvod | = | 3 * délka strany trojúhelníku |
Ve správném trojúhelníku jsou si všechny strany rovny, takže délka jedné strany je stejná:
| Délka strany trojúhelníku | = | 2 * obvodový poloměr * sin (60 stupňů) |
K nalezení obvodu správného trojúhelníku vepsaného do obvodu s daným poloměrem je tedy nutné:
- Najděte délku jedné strany trojúhelníku podle vzorce výše.
- Vynásobte délku strany 3, abyste získali obvod trojúhelníku.
| Poloměr kružnice (r) | 10 cm | ||
| Délka strany trojúhelníku | = 2 * 10 cm * sin (60 stupňů) | = 10 cm * √3 | = 10√3 cm |
| Obvod trojúhelníku | = 3 * 10√3 cm | = 30√3 cm |
Obvod správného trojúhelníku s kružnicí o poloměru 10 cm je tedy 30√3 cm.
Krok 1. Nalezení poloměru kružnice
Chcete-li najít obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice, musíte nejprve najít poloměr tohoto kružnice. Poloměr kružnice lze nalézt s vědomím délky strany trojúhelníku, který popisuje tento kružnice.
1. Víme, že správný trojúhelník má stejné strany. Představme si, že délka jedné z těchto stran je rovna a.
2. K nalezení poloměru kružnice použijeme vzorec:
- Poloměr kružnice = délka strany trojúhelníku / (2 * sin (π/3)), kde sin (π/3) = √3/2 (pro správný trojúhelník)
- Poloměr kružnice = a / √3
3. Poloměr kružnice vepsané do správného trojúhelníku je tedy a / √3.
Krok 2. Hledání strany trojúhelníku
K nalezení strany trojúhelníku vepsaného do kružnice lze použít vzorec, který spojuje poloměr kružnice a stranu trojúhelníku.
Před použitím vzorce je nutné znát poloměr kružnice, do které je trojúhelník vložen. Poloměr lze nalézt přes délku strany trojúhelníku a úhel tvořený touto stranou a středem kružnice.
Vzorec pro nalezení strany trojúhelníku:
| Formule | Popis |
|---|---|
| Strana = 2 * poloměr * sinus (úhel) | Vzorec spojující poloměr kružnice a stranu trojúhelníku |
Nyní můžete tento vzorec použít k nalezení strany trojúhelníku ve vašem úkolu.
Krok 3. Výpočet obvodu
Abychom našli obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice, budeme potřebovat znalosti o vlastnostech správných trojúhelníků a kružnic.
První věc, kterou potřebujeme vědět, je délka strany trojúhelníku. Ve správném trojúhelníku jsou si všechny tři strany rovny. Označíme délku jedné strany trojúhelníku jako a.
Chcete-li vypočítat obvod trojúhelníku, musíte složit délky všech jeho stran. V našem případě jsou si všechny strany rovny a takže perimetr lze najít následovně:
Obvod = a + a + a = 3a
Obvod správného trojúhelníku vepsaného do kružnice je tedy roven 3a (kde a délka strany trojúhelníku).