Jak najít odvozenou funkci v tabulce: kroky a příklady

Odvozená funkce je jedním ze základních pojmů matematické analýzy a hraje důležitou roli v mnoha oblastech vědy a techniky. Ať už se zabýváte fyzikou, ekonomikou nebo programováním, pochopení odvozené funkce může výrazně usnadnit řešení mnoha problémů.

V tomto článku se podíváme na to, jak najít odvozenou funkci pomocí tabulky. Tabulka odvozených funkcí je vhodným nástrojem pro nalezení derivátů různých funkcí, aniž byste museli používat složité metody diferenciace.

Než se dostaneme ke konkrétním příkladům, připomeňme si některá základní pravidla diferenciace. Schopnost aplikovat tato pravidla nám pomůže najít deriváty funkcí v tabulce.

Definice derivátu

Derivát funkce lze určit výpočtem limitu vztahu přírůstku funkce k přírůstku argumentu:

Zde je $f'(x)$ odvozená funkce $f(x)$ v bodě $x$. Pokud existuje limit,funkce se nazývá diferencovatelná.

Derivace funkce může být kladná, záporná nebo nulová v každém bodě. Derivační znaménko určuje směr vzestupné nebo sestupné Funkce v daném bodě. Pokud je derivát kladný, funkce se zvyšuje; pokud je záporný, klesá. Hodnota derivátu rovna nule označuje Extrém (maximum nebo minimum) funkce.

Pokud je funkce hladká, tj. diferencovatelná na celém svém deficitu, lze derivát funkce nalézt podle diferenciálního algoritmu, který zahrnuje pravidla diferenciace elementárních funkcí a pravidla diferenciace složitých funkcí (pomocí řetězového pravidla atd.).

K nalezení odvozené funkce v tabulce lze použít různé metody, včetně diferenciace podle definice, pravidel diferenciace elementárních funkcí a numerických metod (např. metoda konečných rozdílů).

Pravidla pro nalezení derivátu:

Pro nalezení odvozené funkce existují určitá pravidla, která umožňují zjednodušit proces diferenciace. Zde jsou základní pravidla pro nalezení derivace:

1. Pravidlo konstanty: derivace konstanty je nulová. Pokud je funkce f(x) = C, kde C je konstanta, pak její derivát f'(x) = 0.
2. Pravidlo stupeň funkce: derivace stupňovité funkce se rovná součinu exponentu koeficientu původní funkce vynásobenému funkcí se sníženým stupněm. Pokud je funkce f(x) = x^n, pak její derivát f'(x) = n*x^(n-1).
3. Pravidlo součtu: odvozený součet dvou funkcí se rovná součtu jejich derivátů. Pokud je funkce f(x) = g(x) + h(x), pak její derivát f'(x) = g'(x) + h'(x).
4. Pravidlo rozdílu: derivát rozdílu dvou funkcí se rovná rozdílu jejich derivátů. Pokud je funkce f(x) = g(x) - h(x), pak její derivát f'(x) = g'(x) - h'(x).
5. Pravidlo díla: derivace součinu dvou funkcí se rovná součinu derivace první funkce na druhou funkci Plus součinu první funkce na derivaci druhé funkce. Pokud je funkce f(x) = g(x)*h(x), pak její derivát f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x).
6. Pravidlo soukromého: derivace soukromých dvou funkcí se rovná rozdílu součinu derivace první funkce na druhou funkci a součinu první funkce na derivaci druhé funkce dělené druhou funkcí. Pokud je funkce f(x) = g(x)/h(x), pak její derivát f'(x) = (g'(x)*h(x) - g(x)*H'(x))/(h (x))^2.

Pomocí těchto pravidel je možné najít deriváty složitých funkcí a řešit různé úkoly v oblasti diferenciálního počtu.

Vytvoření tabulky derivátů

Chcete-li vytvořit tabulku odvozených funkcí, musíte postupně postupovat podle následujících kroků:

1. Najít odvozenou funkci podle jednoho známého vzorce nebo použít pravidla diferenciace.
2. Zapište výsledný výraz derivace do buňky tabulky.
3. Zopakujte první dva kroky pro všechny funkce přítomné v původní funkci.
4. Vypočítat hodnoty derivátů pro konkrétní hodnoty proměnných a zapsat je do tabulky.

Uveďme příklad sestavení tabulky derivátů pro funkci f(x) = x^2 + 2x + 1.

Odvozená funkce f(x) = x^2 + 2x + 1 rovná 2x + 2.

Sestavení tabulky derivátů umožňuje systematizovat informace o odvozených funkcích a používat je při řešení různých problémů matematické analýzy.

Kroky k nalezení derivace v tabulce

Chcete-li najít odvozenou funkci v tabulce, musíte postupovat podle následujících kroků:

1. Určete, která funkce je v tabulce nastavena. Funkce je obvykle zaznamenána v prvním sloupci tabulky.
2. Prozkoumejte hodnoty funkce v tabulce. Zapište je do druhého sloupce.
3. Určit krok změny argumentu funkce. Tyto informace lze často nalézt v tabulce nebo v komentářích k tabulce.
4. Pomocí hodnot funkce a kroku změny Vypočítejte rozdíly funkce. Rozdíly lze nalézt odečtením každé následné hodnoty funkce od předchozí. Zapište rozdíly do třetího sloupce.
5. Vypočítat sloupec s hodnotami argumentu funkce. Hodnoty argumentu se obvykle rovnají po sobě jdoucím celým číslům vynásobeným krokem změny. Zapište hodnoty argumentu do čtvrtého sloupce.
6. Vydělte hodnoty ze třetího sloupce hodnotami ze čtvrtého sloupce. Výsledné hodnoty jsou přibližné hodnoty odvozené funkce.

Příklad nalezení odvozené funkce v tabulce:

Krok změny argumentu je 1. Vypočítáme rozdíly ve funkci:

Hodnoty argumentu se rovnají po sobě jdoucím celým číslům vynásobeným krokem změny (1):

Rozdělíme hodnoty ze třetího sloupce na hodnoty ze čtvrtého sloupce:

Příklady umístění derivátu v tabulce

Níže je několik příkladů, které ukazují, jak najít odvozenou funkci v tabulce.

Příklad 1:

Je dána funkce f (x) = 3x^2 - 2x + 1. Abychom našli derivát této funkce, použijeme pravidlo diferenciace pro každý jednotlivý slogan. Výsledky zapíšeme do tabulky:

Příklad 2:

Je dána funkce g (x) = sin(x) + cos (x). Abychom našli derivát této funkce, aplikujeme také pravidlo diferenciace pro každou složenou funkci:

Příklad 3:

Zvažte funkci h (x) = e^x + ln (x). Pro zjištění derivace této funkce uplatňujeme příslušná pravidla:

Tabulková metoda tedy umožňuje najít derivát funkce postupným uplatňováním pravidel diferenciace pro každou složenou nebo funkci.