Jednou z důležitých dovedností pro řešení matematických problémů je nalezení průsečíků grafů funkcí. K tomu je obvykle nutné vytvořit grafy funkcí a určit jejich průsečíky. Existují však i jiné způsoby, jako je nalezení průsečíků analytickou cestou, bez vytváření grafů.
Chcete-li najít průsečík grafů dvou funkcí, musíte tyto funkce vzájemně srovnat a vyřešit rovnici. Pokud jsou například uvedeny funkce y = x + 3 a y = 2x - 1, musíte najít hodnotu x, ve které bude y pro obě funkce stejné. Chcete - li to provést, musíte srovnat x + 3 na 2x-1 a vyřešit výslednou rovnici.
Když vyřešíme rovnici x + 3 = 2x-1, dostaneme x = 4. Dále, Chcete-li najít hodnotu y, musíte do kterékoli z funkcí vložit nalezenou hodnotu x. V tomto případě použijeme první funkci y = x + 3. Když nastavíte x = 4, dostaneme y = 4 + 3 = 7. Průsečík grafů funkcí y = x + 3 a y = 2x - 1 má tedy souřadnice (4, 7).
Analytickým přístupem tedy můžeme najít průsečíky grafů funkcí, aniž bychom je museli stavět. Tato metoda může být užitečná při řešení problémů, kde je vytváření grafů obtížné nebo omezené.
Algoritmus pro hledání průsečíku grafů funkcí bez vytváření
Někdy je nutné najít průsečík grafů funkcí, ale vytváření grafů může být složité nebo časově náročné. V takových případech lze použít algoritmus, který vám umožní najít průsečík grafů funkcí bez jejich skutečné konstrukce.
Krok 1: zapište si rovnice funkcí
Nejprve je nutné zapsat rovnice grafů funkcí, jejichž body se protínají. Pokud například hledáme průsečík grafu funkce y = 2x-1 a graf funkce y = - x^2 + 3x, pak máme následující rovnice:
Krok 2: vložte jednu rovnici do druhé
Druhým krokem je nastrčit jednu rovnici do druhé. V našem příkladu můžeme nahradit y druhé rovnice 2x-1. Získat:
Krok 3: Uveďte rovnici do čtvercového vzhledu
Třetím krokem je vést rovnici k čtvercovému vzhledu, tj. učinit pravou část rovnice nulovou:
Krok 4: vyřešte kvadratickou rovnici
Čtvrtým krokem je vyřešit výslednou kvadratickou rovnici, například diskriminantem nebo jinými metodami. V našem příkladu řešíme rovnici:
D = 5^2 - 4*1*1 = 25 - 4 = 21
Krok 5: Najděte hodnoty y
Posledním krokem je nastražit nalezené hodnoty x do jedné z původních rovnic pro nalezení příslušných hodnot y. náš příklad:
y1 = 2*(5 + √21) / 2 - 1
y2 = 2*(5 - √21) / 2 - 1
Takže jsme získali dva průsečíky grafů funkcí bez jejich konstrukce: (x1, y1) a (x2, y2).
Podrobné vysvětlení pro 7. třídu
Naučit se najít průsečík grafů funkcí bez budování může být obtížné, ale se správným vysvětlením je úkol snazší!
Předpokládejme, že máme dvě funkce dané ve formě rovnic: y = f(x) a y = g(x). Pro nalezení průsečíku je nutné vyřešit systém rovnic:
f(x) = g(x)
Prvním krokem je najít oblast, kde se překrývají grafy funkcí. Obvykle se vyskytuje v oblasti hodnot x, které jsou součástí definování obou funkcí.
Poté, vyřešte systém rovnic analyticky nebo graficky pomocí substituční metody, metody rovnosti koeficientů nebo metody grafů.
Vypočítaná hodnota x, při kterém f(x) rovná se g(x). Bude to souřadnice x průsečík
Chcete-li najít odpovídající hodnotu y, nastražte nalezenou hodnotu x do jedné z rovnic a vypočítejte y. Bude to souřadnice y průsečík.
Nyní máte souřadnice průsečíku grafů funkcí, aniž byste je museli stavět! Napište odpověď jako tečku (x, y).
Tento přístup pomůže zjednodušit úkol a umožní najít průsečík grafů funkcí bez použití grafické metody.