Nevyklé mnohoúhelníky jsou tvary, které mohou mít vnitřní úhly větší než 180 stupňů. Na rozdíl od konvexních mnohoúhelníků může být jejich tvar velmi složitý a vizuálně matoucí. Existuje však jednoduchý způsob, jak najít součet úhlů nepouklého mnohoúhelníku, založený na principu rozdělení tvaru na trojúhelníky.
Prvním krokem při určování součtu úhlů nepouklého mnohoúhelníku je rozdělit tvar na několik trojúhelníků. Chcete-li to provést, nakreslete úhlopříčky od jednoho vrcholu tvaru k druhému, čímž vytvoříte trojúhelníky. Pomocí tohoto principu je možné rozdělit libovolný nepružný mnohoúhelník na sadu trojúhelníků, které lze jednotlivě snadněji analyzovat a měřit.
Po rozdělení tvaru na trojúhelníky zvažte každý trojúhelník jednotlivě, abyste určili jeho vnitřní úhel. Pokud jsou již změřeny všechny vnitřní úhly, jejich součet se bude rovnat součtu úhlů neuklizeného mnohoúhelníku. Pokud nejsou úhly změřeny, lze je určit pomocí věty úhlového součtu trojúhelníku, která říká, že součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníku je 180 stupňů.
Základním principem nalezení součtu úhlů nepouklého mnohoúhelníku je tedy rozdělení tvaru na trojúhelníky a následné studium jejich úhlů. Tento jednoduchý princip aplikujte při práci s nevyklými mnohoúhelníky a můžete snadno určit součet jejich úhlů.
Pojem neuklizeného mnohoúhelníku
Nepružné mnohoúhelníky se často vyskytují v přírodě a jsou důležité v různých oblastech, jako je geometrie, počítačová grafika, optimalizace atd.
Na rozdíl od konvexní mnohoúhelníky, které mají všechny úhly menší nebo rovny 180 stupňům, neuklizené mnohoúhelníky mohou mít nekonečný počet úhlů a jejich součet nemůže být konstantní. Chcete-li najít součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku, musíte vzít v úvahu všechny jeho vnitřní úhly.
Hodnota nalezení součtu úhlů
Kromě toho může součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku sloužit jako základ pro řešení dalších problémů v geometrii. Když známe součet úhlů, můžeme vypočítat jednotlivé úhly nebo najít jiné charakteristiky mnohoúhelníku, jako je plocha nebo délky stran.
Základem zjištění součtu úhlů je princip, že součet všech vnitřních úhlů mnohoúhelníku je 180 ° × (n-2), kde n je počet vrcholů mnohoúhelníku. Tento princip nám umožňuje zjednodušit výpočty a získat přesný výsledek pro jakýkoli neuklizený mnohoúhelník.
Nalezení součtu úhlů neuklizeného mnohoúhelníku je tedy důležitým úkolem, který nám pomáhá lépe porozumět a studovat vlastnosti tohoto geometrického objektu.
Základní principy výpočtu
Pro výpočet součtu úhlů neuklizeného mnohoúhelníku je nutné použít následující zásady:
- Rozdělte mnohoúhelník na trojúhelníky. Chcete-li to provést, nakreslete úhlopříčky spojující vrcholy mnohoúhelníku s nevyklými úhly.
- Vypočítejte součet úhlů každého trojúhelníku. K tomu použijte vzorec součtu úhlů v trojúhelníku: 180 stupňů.
- Promyslete všechny úhly trojúhelníků, abyste získali celkový součet úhlů nepouklého mnohoúhelníku.
Všimněte si, že úhly tvořené úhlopříčkami a stranami mnohoúhelníku lze vypočítat odečtením úhlů trojúhelníků od 360 stupňů.
Rozdělení polygonu na trojúhelníky
Pro výpočet součtu úhlů nepuklého mnohoúhelníku je nutné jej rozdělit na trojúhelníky. To lze provést několika způsoby:
- Metoda rozdělení diagonálně. Tato metoda je založena na vedení úhlopříček uvnitř mnohoúhelníku. Chcete-li mnohoúhelník rozdělit na trojúhelníky, označte jakýkoli vrchol a spojte jej s dalšími dvěma vrcholy, které nejsou sousedními. Opakujte tuto operaci pro všechny vrcholy, dokud nebudou všechny vrcholy mnohoúhelníku spojeny úhlopříčkami. Mnohoúhelník tak bude rozdělen do několika trojúhelníků.
- Triangulační metoda. Tato metoda je založena na rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky nalezením nepružných úhlů a spojením vrcholů s těmito úhly. Neuklizené úhly lze nalézt tak, že najdete vnitřní úhly mnohoúhelníku a zkontrolujete jejich součet. Když je nalezen nepouklý úhel, můžete nakreslit úhlopříčky z příslušných vrcholů. Mnohoúhelník tak bude rozdělen na trojúhelníky.
- Metoda křížení žeber. Tato metoda je založena na hledání průsečíků žeber mnohoúhelníku. Pokud má mnohoúhelník protínající se hrany, lze diagonály nakreslit z příslušných vrcholů protínajících se hran. Mnohoúhelník tak bude rozdělen na trojúhelníky.
Po rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky lze vypočítat součet úhlů každého trojúhelníku a složit je, aby se vytvořil konečný součet úhlů nepouklého mnohoúhelníku.
Výpočet součtu úhlů trojúhelníku
Trojúhelník má tři rohy, které jsou označeny jako úhel A, úhel B A úhel C. Součet těchto tří úhlů je vždy 180 stupňů.
Pokud jsou známy dva úhly trojúhelníku, lze snadno najít třetí úhel odečtením součtu od 180 stupňů:
- Úhel A + úhel B + úhel C = 180 stupňů
- Úhel A = 50 stupňů
- Úhel B = 70 stupňů
- Úhel C = 180 - 50 - 70 = 60 stupňů
Součet všech tří úhlů trojúhelníku tedy bude 180 stupňů, což je hlavní charakteristika tohoto geometrického tvaru.
Součet úhlů trojúhelníků
Abychom vypočítali součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku, musíme jej rozdělit na trojúhelníky. Každý trojúhelník má součet úhlů rovných 180 stupňům.
Pro začátek vybereme jeden z vrcholů mnohoúhelníku a nakreslíme z něj všechny úhlopříčky, čímž rozdělíme mnohoúhelník na trojúhelníky. Může to být některý z vrcholů.
Poté vypočítáme součet úhlů každého trojúhelníku pomocí vzorce součtu úhlů v trojúhelníku: 180 stupňů.
Poté jednoduše sečteme všechny součty úhlů trojúhelníků získaných v předchozím kroku a získáme součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku.
Je důležité poznamenat, že sčítání součtu úhlů trojúhelníků je základním principem pro výpočet součtu úhlů nepuklého mnohoúhelníku. Tuto metodu lze použít v každém případě bez ohledu na počet vrcholů a tvar mnohoúhelníku.
Příklad řešení
Představme si, že máme neuklizený mnohoúhelník s vrcholy a, B, C, D, E, F.musíme najít součet všech jeho úhlů.
- Nakreslíme diagonály mnohoúhelníku, které spojují vrcholy, které nejsou sousedními. V našem příkladu jsou to úhlopříčky Af a CE.
- Pomocí těchto úhlopříček rozdělíme mnohoúhelník na trojúhelníky. V našem příkladu získáte tři trojúhelníky: ABC, AEF a CEF.
- Pro každý trojúhelník najdeme součet jeho úhlů. To lze provést pomocí známého vzorce, který říká: součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů.
- Sečteme součty úhlů všech trojúhelníků a získáme požadovaný součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku.
Například u trojúhelníku ABC bude součet jeho úhlů: úhel a + úhel B + úhel C = 180 stupňů.
Podobně u trojúhelníku AEF bude součet jeho úhlů: úhel a + úhel E + úhel F = 180 stupňů.
A nakonec pro trojúhelník CEF bude součet jeho úhlů: úhel C + úhel E + úhel F = 180 stupňů.
Součet úhlů neuklizeného mnohoúhelníku ABCDEF by se tedy rovnal: (úhel a + úhel B + úhel C) + (úhel a + úhel E + úhel F) + (úhel C + úhel e + úhel F) = 540 stupňů.
Popis příkladu
Pro názorné vysvětlení principu výpočtu součtu úhlů neuklizeného mnohoúhelníku zvažte příklad mnohoúhelníku ABCDE:
Polygon ABCDE:
Úhel A: Je známo, že úhly mezi AB a BC (úhel a) a úhly mezi BC a CD (úhel B) jsou 80 stupňů každý. Je také známo, že úhel C je 120 stupňů.
Úhel B: Jakmile víme, že úhly A A C jsou 80 stupňů a 120 stupňů, můžeme vypočítat úhel B pomocí vzorce: úhel B = 360 stupňů - úhel a - úhel C = 360 stupňů - 80 stupňů - 120 stupňů = 160 stupňů.
Úhel D: Úhel D se bude rovnat součtu úhlů B A C, protože úhly v mnohoúhelníku se sčítají: úhel D = úhel B + úhel C = 160 stupňů + 120 stupňů = 280 stupňů.
Úhel E: Úhel E se bude rovnat součtu úhlů D a úhlu A, protože úhly v mnohoúhelníku se sčítají: úhel E = úhel D + úhel a = 280 stupňů + 80 stupňů = 360 stupňů.
Součet úhlů mnohoúhelníku ABCDE je tedy 360 stupňů.