Trigonometrie - věda, která studuje vztah mezi rohy a stranami trojúhelníku. Jedním ze základních pojmů v této vědě je tangens. Klasický způsob, jak najít tangens, vypadá takto: pokud je znám protilehlý rohový katetr, pak se jeho vztah k předmětu nazývá tangensův úhel. Existují však nová pravidla, která umožňují najít tangens, pokud je sinus známý.
Sinus úhlu je poměr protilehlého katetu k přeponě. Nová pravidla trigonometrie tvrdí, že pro nalezení tangens úhlu lze použít následující vzorec: tangens se rovná sinusu dělenému kořenem z jednoho mínus kosinus na druhou.
Tento vzorec umožňuje snížit počet výpočtů a najít tangens najednou, znát pouze hodnotu sinusu. Je vhodným nástrojem při řešení úloh trigonometrie, zejména v případech, kdy je nutné rychle získat numerickou hodnotu tangens.
Jak najít tangens, když je znám sinus?
Pokud je znám sinus úhlu, pak lze tangens vypočítat podle vzorce: tangens úhlu se rovná poměru sinusu ke kořeni z jednotky mínus čtverec sinusu úhlu.
Pro výpočet tangensova úhlu umístěného v intervalu 0 až 90 stupňů je třeba:
- Najděte sinus úhlu pomocí tabulky hodnot nebo výpočetního zařízení.
- Změňte hodnotu sinusu na čtverec.
- Odečtěte čtverec sinusu od jednotky.
- Extrahujte druhou odmocninu z výsledného čísla.
- Výsledná hodnota bude tangencií hledaného úhlu.
Pokud je sinus úhlu 0,6, pak:
Tangens roh = √(1 - 0,6 2 ) = √(1 - 0,36) = √0,64 = 0,8
Takže tangens úhlu, pokud je znám sinus, je 0,8.
Definice tangence a sinusu
Sinus úhel v trojúhelníku se rovná poměru protilehlého katetu k přeponě. Označuje se jako Sin (θ). Například, pokud je úhel θ 30 stupňů a délka protilehlého katetu je 1 a délka přepony je 2, pak bude součin úhlu θ 1/2.
Tangens úhel v trojúhelníku se rovná poměru protilehlého katetu k předmětu. Označuje se jako Tan (θ). Například, pokud je úhel θ 45 stupňů a délka protilehlého katetu je 1 a délka podmětového katetu je 1, pak bude tangens úhlu θ roven 1.
Pomocí hodnot sinusu a tangence, stejně jako dalších trigonometrických funkcí, lze řešit různé úkoly související s měřením úhlů a výpočtem stran trojúhelníků.
Základní vzorce trigonometrie
V trigonometrii existují základní vzorce, které umožňují vypočítat hodnoty trigonometrických funkcí na základě známých hodnot jiných funkcí. Níže jsou uvedeny některé z těchto vzorců:
- Sinusový vzorec: sin(A) = a / c, kde a je úhel, a je protilehlá strana, C je přepona trojúhelníku.
- Cosinus vzorec: cos(A) = b / c, kde a je úhel, b je vedlejší strana, C je přepona trojúhelníku.
- Tangensův vzorec: tan(A) = a / b, kde a je úhel, a je protilehlá strana, b je přilehlá strana trojúhelníku.
- Cotangensův vzorec: cot(A) = b / a, kde a je úhel, b je vedlejší strana, a je protilehlá strana trojúhelníku.
- Vzorec sekance: sec(A) = c / b, kde a je úhel, C je přepona trojúhelníku, b je vedlejší strana.
- Kosekansův vzorec: cosec(A) = c / a, kde a je úhel, C je přepona trojúhelníku, a je protilehlá strana.
Tyto vzorce umožňují vypočítat hodnoty trigonometrických funkcí pro různé úhly a strany trojúhelníku. Jsou základem pro řešení mnoha problémů souvisejících s geometrií a fyzikou.
Nová pravidla trigonometrie
Řekněme, že známe sinus rohu. K nalezení odpovídající tangence tohoto úhlu použijeme vzorec:
| Formule | Pravidlo |
| Tangens roh | tangens = sinus / kosinus |
Chcete-li tedy najít úhel tangence, musíte rozdělit hodnotu sinusu na hodnotu kosinu stejného úhlu.
Nová pravidla trigonometrie umožňují snadnější výpočty a lepší pochopení trigonometrických funkcí. Historicky vytvořené sinus, kosinus a tangens zůstávají důležité a užitečné, ale nová pravidla rozšiřují naše možnosti a pomáhají efektivněji řešit úkoly.
Metoda nalezení tangens podle sinusu
- Je známo, že tangens se rovná poměru sinusu k kosinu: tan(α) = sin(α) / cos(α) .
- Pokud je znám pouze sinus úhlu, lze použít trigonometrickou identitu z nových pravidel: sin^2(α) + cos^2(α) = 1 .
- Vyjádřeme kosinus z Identity: cos(α) = sqrt(1 - sin^2 (α))), kde sqrt () označuje druhou odmocninu.
- Dáme výraz pro kosinus do vzorce pro tangens: tan(α) = sin(α) / sqrt(1 - sin^2 (α))).
Tímto způsobem, když znáte sinus úhlu, můžete pomocí daného vzorce najít odpovídající tangens.
Praktické příklady
Vezměme si následující příklad:
Ať máme trojúhelník ABC, kde úhel B je 30 stupňů a přepona AC je 8 cm.známe sin úhlu B a je 0.5. Je třeba najít tangens roh B.
K vyřešení tohoto problému použijeme nová pravidla trigonometrie:
Tangens úhlu B je vyjádřen sinusem a kosinem:
Tangens B = Sinus B / Kosinus B.
Sinus úhlu B je u nás již známý a rovná se 0,5. Kosinus B lze nalézt pomocí následujícího pravidla:
Kosinus B = kořen z (1-sinus 2 B).
Uveďte známé významy do vzorce:
Kosinus B = kořen z (1 - 0.5 2 ) = kořen z (1-0.25) = kořen z 0.75 = 0.866.
Nyní, když známe hodnoty sinusu a kosinu, můžeme najít tangens úhlu B:
Tangens B = 0.5 / 0.866 = 0.577.
Tangens úhlu B je tedy 0,577.
Praktické úkoly řešené pomocí nových pravidel trigonometrie nám pomáhají efektivněji řešit různé úkoly z různých oblastí vědy a techniky.