Kružnice - jsou to geometrické tvary, které se skládají ze všech bodů, které se překrývají s daným středem a poloměrem. Někdy je potřeba najít poloměr kružnice, který je mezi dalšími dvěma kružnicemi. V tomto článku se podíváme na jednoduchou metodu nalezení poloměru a také se podíváme na příklady pro lepší pochopení.
Jednoduchá metoda nalezení poloměru spočívá v použití vlastností trojúhelníků a tečen. K nalezení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi můžeme využít vlastnost rovnosti poloměrů kružnic tím, že ji nepřímo dokážeme pomocí podobnosti trojúhelníků. Jakmile najdeme délku strany trojúhelníku tvořenou kružnicemi a tečnami, můžeme vypočítat poloměr kružnice.
Příklad pomůže nám lépe si představit, jak tato metoda funguje. Vezměme si příklad: máme dva kružnice s poloměry 4 cm a 6 cm, jejichž vzdálenost mezi centry je 10 cm.budeme stavět trojúhelník s vrcholy v centrech kružnic a průsečíku tečen. Poté pomocí Pythagorovy věty a strany trojúhelníku tvořené kružnicemi a tečnami najdeme poloměr kružnice mezi nimi.
Metody určování poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi: jednoduchá metoda a příklady
Stanovení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi může být užitečné při řešení různých problémů v geometrii, fyzice, inženýrství a dalších oblastech.
K určení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi existuje několik metod, ale jednou z nejjednodušších je použití Pythagorovy věty.
Představme si, že máme dva kružnice s poloměry R1 a R2 a centry v bodech A A B. K nalezení poloměru kružnice vedeného mezi těmito dvěma kružnicemi můžeme použít následující vzorec:
R = (R1 + R2) / 2 + sqrt((R1 + R2)^2 - AB^2) / 2
kde AB-vzdálenost mezi středy kružnic a sqrt-funkce extrakce odmocniny.
Tento vzorec použijeme na příkladu. Řekněme, že máme dva kružnice s poloměry 5 a 3 a centry v bodech A(2, 3) A B(6, 4). Najdeme poloměr kružnice mezi nimi:
AB = sqrt((6 - 2)^2 + (4 - 3)^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17)
R = (5 + 3) / 2 + sqrt((5 + 3)^2 - 17) / 2 = 8 / 2 + sqrt(64 - 17) / 2 = 4 + sqrt(47) / 2
Poloměr kružnice vedený mezi dvěma kružnicemi s poloměry 5 a 3 a centry v bodech A(2, 3) a B(6, 4) je tedy 4 + sqrt(47) / 2.
Co je poloměr kružnice?
Poloměr kružnice lze nalézt s vědomím jejího průměru nebo plochy. Průměr je segment, který spojuje dva body na kružnici procházející jejím středem. Průměr se rovná dvojnásobné hodnotě poloměru. Kružnice lze vypočítat podle vzorce s = πr^2, Kde π je matematická konstanta přibližně 3.14159.
Poloměr kružnice lze také vypočítat v kontextu jiných geometrických tvarů. Je to například polovina strany čtverce zapsaného do kružnice nebo polovina délky segmentu tvořeného chordou od středu kružnice. Poloměr se používá v mnoha matematických a geometrických vzorcích a konceptech.
| Obrazec | Způsob výpočtu poloměru |
|---|---|
| Kružnice | Nastaveno explicitně nebo vypočítáno z průměru nebo plochy |
| Čtverec | Polovina strany vepsané do obvodu čtverce |
| Obvodový segment | Polovina délky segmentu tvořeného chordou od středu obvodu |
Jak určíte poloměr kružnice mezi dvěma kružnicemi?
K nalezení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi lze použít jednoduchou metodu založenou na geometrii a matematických principech. Pro začátek je nutné určit vzdálenost mezi centry dvou kružnic.
K tomu lze použít vzorec vzdálenosti mezi dvěma body v prostoru:
Vzdálenost = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
Kde (x1, y1) a (x2, y2) jsou souřadnice Center prvního a druhého kružnice. Po výpočtu vzdálenosti mezi centry je nutné zvolit menší ze dvou poloměrů jako poloměr kružnice mezi nimi.
Řekněme například, že máme dva kružnice se souřadnicemi středů (3, 4) a (7, 2) a jejich poloměry jsou 5 a 4. Nejprve najdeme vzdálenost mezi centry:
Vzdálenost = √((7 - 3)^2 + (2 - 4)^2) = √(16 + 4) = √20 = 4.47
Pak vybereme menší ze dvou poloměrů, tedy 4. Poloměr kružnice mezi těmito dvěma kružnicemi je tedy 4.
Pomocí této jednoduché metody a matematických principů lze snadno určit poloměr kružnice mezi dvěma kružnicemi.
Jednoduchá metoda určení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi
Metoda stanovení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi je založena na použití Pythagorovy věty. Tato metoda umožňuje najít poloměr kružnice, který se dotýká jednoho kružnice ve dvou bodech a protíná druhý kružnice. Podívejme se na kroky k určení poloměru:
- Najděte vzdálenost mezi středy dvou kružnic pomocí vzorce vzdálenosti mezi dvěma body v rovině.
- Vypočítejte součet poloměrů dvou kružnic
- Pomocí Pythagorovy věty najděte délku úsečky spojující středy kružnic.
- Odečtěte součet poloměrů kružnic od nalezené délky,abyste získali poloměr kružnice.
Použití této metody v praxi ilustruje její účinnost a přesnost. Představme si následující příklad: dva kružnice mají poloměry 5 a 3 a vzdálenost mezi jejich centry je 8.
- Vzdálenost mezi středy kružnic: 8.
- Součet poloměrů: 5 + 3 = 8
- Použijeme Pythagorovu větu: přepona čtverec (vzdálenost mezi centry) se rovná součtu čtverců katetů (poloměry kružnic).
- 8² = 5² + 3²
- 64 = 25 + 9
- 64 = 34
Z tohoto příkladu je zřejmé, že poloměr kružnice je 2, protože součet poloměrů kružnic je větší než vzdálenost mezi centry. Tato jednoduchá metoda umožňuje rychlé a přesné nalezení poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi, což může být užitečné v různých úkolech a aplikacích.
Příklady výpočtu poloměru kružnice mezi dvěma kružnicemi
Pro názornost zvažte několik příkladů výpočtu poloměru kružnice, který je mezi dvěma danými kružnicemi.
Příklad 1:
Jsou uvedeny dva obvody: první má střed v bodě a(-2, 3) a poloměr 5, druhá má střed v bodě B (4, 1) a poloměr 3. Najdeme poloměr kruhu, který je mezi nimi.
1. Najdeme vzdálenost mezi středy kružnic: d = sqrt ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), kde x1, y1 jsou souřadnice středu prvního kružnice, x2, y2 jsou souřadnice středu druhého kružnice.
Pomocí vzorce získáme:
d = sqrt((4 - (-2))^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) ≈ 6.32
2. Najdeme součet poloměrů prvního a druhého kružnice: R = r1 + r2, kde R1 je poloměr prvního kružnice, r2 je poloměr druhého kružnice.
Pomocí vzorce získáme:
3. Odečteme od součtu poloměrů získanou vzdálenost mezi středy kružnic: R-d.
Pomocí vzorce získáme:
R - d = 8 - 6.32 = 1.68
Poloměr kružnice, která je mezi dvěma danými kružnicemi, je tedy přibližně 1.68.
Příklad 2:
Jsou uvedeny dva kružnice: první má střed v bodě A(0, 0) a poloměr 6, druhý má střed v bodě B(8, 4) a poloměr 4. Najdeme poloměr kruhu, který je mezi nimi.
1. Najdeme vzdálenost mezi středy kružnic: d = sqrt ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), kde x1, y1 jsou souřadnice středu prvního kružnice, x2, y2 jsou souřadnice středu druhého kružnice.
Pomocí vzorce získáme:
d = sqrt((8 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = sqrt(64 + 16) = sqrt(80) ≈ 8.94
2. Najdeme součet poloměrů prvního a druhého kružnice: R = r1 + r2, kde R1 je poloměr prvního kružnice, r2 je poloměr druhého kružnice.
Pomocí vzorce získáme:
3. Odečteme od součtu poloměrů získanou vzdálenost mezi středy kružnic: R-d.
Pomocí vzorce získáme:
R - d = 10 - 8.94 ≈ 1.06
Poloměr kružnice, která je mezi dvěma danými kružnicemi, je tedy přibližně 1,06.