Správný obdélník - je to jeden z nejznámějších a nejpoužívanějších geometrických tvarů. Má čtyři strany, všechny rohy jsou rovné a všechny jeho strany mají stejnou délku ve dvojicích. Ale co jeho diagonály? Mají nějaké speciální vlastnosti? V tomto článku se podíváme na vlastnosti úhlopříček obdélníku a prokážeme je.
Abychom mohli začít, musíme nejprve určit, co je úhlopříčka obdélníku. Úhlopříčka obdélníku je čára spojující dva protilehlé vrcholy tohoto čtyřúhelníku. Obdélník má dvě úhlopříčky-dlouhý a krátký. Pojďme prozkoumat vlastnosti každého z nich.
První vlastností úhlopříček obdélníku je, že se rovnají délce. Pojďme to dokázat. Nechte ABCD obdélník, ve kterém je AB dlouhá úhlopříčka a CD krátká úhlopříčka. Víme, že v obdélníku jsou opačné strany stejné. Také víme, že pravé úhly obdélníku jsou 90 stupňů. Podívejme se na trojúhelníky ABC a CDA. V nich jsou dvě strany stejné: AB = CD, protože úhlopříčky jsou z definice stejné. A třetí strana AD se rovná sobě. Trojúhelníky ABC a CDA jsou tedy rovnoramenné na dvou stranách. To znamená, že mají všechny úhly stejné, podle věty rovnoprávnosti úhlů. Konkrétně úhel a se rovná úhlu D a úhel V je úhel C.to znamená, že trojúhelníky ABC a CDA jsou podobné. A proto jsou příslušné strany těchto trojúhelníků úměrné: AB / CD = BC / AD. Ale protože BC = AD (pravoúhlost obdélníku), pak AB/CD = 1, tedy AB = CD. Je prokázáno, že úhlopříčka obdélníku je stejná jako délka.
Čtyřúhelník: důkaz vlastností úhlopříček
Úhlopříčky v obdélníku hrají důležitou roli a mají několik zajímavých vlastností. V této části se podíváme na tyto vlastnosti a prokážeme je.
Vlastnost 1: Úhlopříčky obdélníku se rovnají délce.
Důkaz: zvažte obdélník ABCD, kde AB a CD jsou strany obdélníku a AC a BD jeho úhlopříčky. Protože protilehlé strany obdélníku jsou stejně dlouhé, máme AB = CD. Obdélník má také vlastnost pravých úhlů, takže úhel A a úhel C jsou přímé úhly.
Podle Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AC a katety AB a BC tedy máme:
| AB 2 + BC 2 = AC 2 |
Podobně pro obdélníkový trojúhelník CBD s přeponou BD a katetami CD a BC, máme:
| CD 2 + BC 2 = BD 2 |
Protože AB = CD, pak AB 2 = CD 2 . Také, AC = BD, takže AC 2 = BD 2 . Tedy:
| AB 2 + BC 2 = AC 2 |
| CD 2 + BC 2 = AC 2 |
| AB 2 + BC 2 = CD 2 |
| AC 2 = BD 2 |
Z toho vyplývá, že AB = CD a AC = BD. Úhlopříčky obdélníku jsou tedy stejně dlouhé.
Vlastnost 2: úhlopříčky obdélníku jsou vzájemně kolmé.
Důkaz: zvažte obdélník ABCD, kde AB a CD jsou strany obdélníku a AC a BD jeho úhlopříčky. Protože protilehlé strany obdélníku jsou rovnoběžné a rovnoběžné s délkou, máme AB