Trojúhelník je jedním ze základních geometrických tvarů, které se učíme od dětství. S vědomím délky základny a výšky můžeme snadno najít ostatní strany trojúhelníku. V tomto článku se podíváme na metodiku výpočtu a uvedeme několik praktických příkladů.
Pro začátek si připomeňme základní pojmy. Základna trojúhelníku je jednou z jeho stran, na které se výška opírá. Výška trojúhelníku se nazývá kolmice sestoupená z vrcholu na základnu nebo její pokračování. Tyto dvě hodnoty-délka základny a výška - použijeme ve výpočtech.
Chcete-li najít ostatní strany trojúhelníku, podívejte se na pravoúhlý trojúhelník tvořený základnou, výškou a jednou ze stran trojúhelníku (říkejme mu střední strana). Použitím Pythagorovy věty můžeme najít délku střední strany. Poté jednoduše přidejte tuto délku k délce základny, abyste získali součet dvou zbývajících stran.
Metodika výpočtu stran trojúhelníku
Výpočet stran trojúhelníku se provádí pomocí základny a výšky. K tomu se použije Pythagorova věta a obdélníkový trojúhelník tvořený základnou a výškou.
Nechť je dán trojúhelník ABC, kde AB je základna a H je výška dolů na základnu. Označíme BC jako A, AC jako b a AB jako c.
Pomocí Pythagorovy věty pro obdélníkový trojúhelník ABC dostaneme:
c 2 = a 2 + b 2
Nyní, když známe hodnoty základny a výšky, můžeme tuto rovnici vyřešit vzhledem k straně c a získat její délku. Je důležité vzít v úvahu, že strana c musí být větší než kterákoli ze stran a nebo b.
Je dán trojúhelník ABC se základnou AB, která se rovná 8 jednotkám, a výškou H, která se rovná 6 jednotkám.
Použijeme metodu výpočtu stran trojúhelníku:
Strana C trojúhelníku ABC je tedy 10 jednotek.
Určení délky základny trojúhelníku
Základna trojúhelníku je jednou z jeho stran, na které leží výška. Chcete-li najít délku základny trojúhelníku, musíte mít informace o jeho výšce a dalších stranách nebo úhlech.
K určení délky základny trojúhelníku existuje několik metod:
| Metoda | Popis |
| Využití plochy | Pokud je známa plocha trojúhelníku (s) a výška (h), pak lze délku základny (b) najít podle vzorce: b = 2 * S / h |
| Použití tangens roh | Pokud je znám jeden z úhlů trojúhelníku (α) a délka strany k němu přilehlé (a) A délka protilehlé strany (c), pak lze délku základny b nalézt podle vzorce: b = (c * tan(α) + a) / tan(α) |
| Použití Pythagorovy věty | Pokud jsou známy délky dvou stran trojúhelníku (a A c) a délka výšky( h), pak lze délku základny b nalézt podle vzorce: b = sqrt(C^2-H^2) nebo b = sqrt(a^2 + H^2-C^2) |
Při hledání délky základny trojúhelníku je vždy nutné vzít v úvahu známá data o trojúhelníku a použít vhodnou metodu výpočtu. To umožňuje přesně určit délku základny trojúhelníku a použít tyto informace k dalším výpočtům.
Výpočet délky výšky trojúhelníku
Pokud je známa základna trojúhelníku a délka výšky, lze délku strany trojúhelníku vypočítat podle vzorce:
с = 2 * (площадь треугольника) / (длина основания).
kde c je délka strany trojúhelníku, lze plochu trojúhelníku vypočítat jako:
S = 0.5 * (длина основания) * (длина высоты).
Výšku trojúhelníku (h) lze tedy vypočítat podle vzorce:
h = (2 * S) / c,
kde h je délka výšky trojúhelníku.
Pokud se například základna trojúhelníku rovná 5 jednotkám a délka výšky je 3 jednotkám, pak bude plocha trojúhelníku rovna:
S = 0.5 * 5 * 3 = 7.5.
Pomocí vzorce pro výpočet délky strany trojúhelníku získáme:
c = 2 * 7.5 / 5 = 3.
Délka strany trojúhelníku je tedy 3 jednotky.
Podobně lze vypočítat délku výšky trojúhelníku, pokud jsou známy délky obou stran a úhel mezi nimi. K tomu lze použít větu sinus nebo kosinus.
Příklady výpočtů stran trojúhelníku
Zvažte několik příkladů výpočtu stran trojúhelníku podle základny a výšky, abyste lépe porozuměli této metodě geometrické analýzy.
Příklad 1:
Je dán trojúhelník ABC, ve kterém je základna AB 10 cm a výška dolů na danou základnu je 6 cm.najdeme délky zbývajících stran trojúhelníku.
Podle definice výška trojúhelníku rozděluje jeho základnu na dvě stejné části. Základna AB se tedy rozdělí na dvě části po 5 cm.
Vzdálenost od vrcholu C k základně AB se rovná výšce trojúhelníku, tedy 6 cm.
Proto jsou délky stran trojúhelníku stejné: AC = 5 cm, BC = 5 cm a AB = 10 cm.
Příklad 2:
Vezměme si trojúhelník DEF, který má základnu DE 12 m a výška, která je na dané základně spuštěna, je 8 m. Je nutné najít délky zbývajících stran trojúhelníku.
Analogicky s předchozím příkladem můžeme základnu DE rozdělit na polovinu a získat dvě části po 6 m každý.
Výška trojúhelníku rovna 8 m bude sloužit jako vzdálenost od vrcholu F k základně DE.
Délky stran trojúhelníku jsou tedy stejné: DF = 6 m, EF = 6 m a DE = 12 m.
To jsou jen některé příklady výpočtu stran trojúhelníku podle základny a výšky. Pomocí této metody lze najít délky stran trojúhelníku v různých geometrických úkolech.
Příklad 1: Výpočet stran trojúhelníku podle známé základny a výšky
Existuje trojúhelník, který má základnu a výšku. Pro výpočet stran trojúhelníku se používá vzorec:
Strana trojúhelníku = 2 * (plocha trojúhelníku / výška)
Dáno: základna trojúhelníku je 10 cm, výška je 6 cm.
1. Výpočet plochy trojúhelníku:
Plocha = (základna * Výška) / 2 = (10 * 6) / 2 = 30 cm2
2. Výpočet stran trojúhelníku:
Strana = 2 * (plocha / výška) = 2 * (30 / 6) = 10 viz
Strana trojúhelníku je tedy 10 cm.
Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat strany trojúhelníku podle známé základny a výšky.
Příklad 2: Výpočet stran trojúhelníku podle daných hodnot základny a výšky
Řekněme, že máme následující hodnoty:
- Základna trojúhelníku: a = 8 cm
- Výška trojúhelníku nakreslená k základně: h = 6 cm
Pomocí vzorce pro výpočet plochy trojúhelníku s = (a * H) / 2 můžeme najít plochu trojúhelníku:
S = (8 cm * 6 cm) / 2 = 48 cm2
Poté pomocí vzorce pro výpočet délky strany trojúhelníku spojené s plochou a základnou a = (2 * s) / a můžeme najít délku strany trojúhelníku:
a = (2 * 48 cm2) / 8 cm = 12 cm
Strana trojúhelníku je tedy 12 cm.
Pomocí vzorce pro výpočet délky druhé strany trojúhelníku spojené s plochou a výškou, b = (2 * S) / h, můžeme najít délku druhé strany trojúhelníku:
b = (2 * 48 CM2) / 6 cm = 16 cm
Druhá strana trojúhelníku je tedy 16 cm.
Takže podle daných hodnot základny a výšky jsme určili, že strana trojúhelníku je 12 cm a druhá strana je 16 cm.
Vzorec pro výpočet stran trojúhelníku
Pro výpočet stran trojúhelníku podle základny a výšky lze použít následující vzorec:
Strana trojúhelníku = 2 * (plocha trojúhelníku / výška trojúhelníku)
Tento vzorec umožňuje najít délku boční strany trojúhelníku, pokud je známa jeho plocha a výška nakreslená k základně trojúhelníku.
Chcete-li použít tento vzorec, musíte nejprve najít plochu trojúhelníku pomocí vzorce pro výpočet plochy:
- Plocha trojúhelníku = (základna trojúhelníku * výška trojúhelníku) / 2
Po nalezení plochy trojúhelníku lze k výpočtu délky boční strany trojúhelníku použít první vzorec.
Uveďme příklad výpočtu stran trojúhelníku podle základny a výšky:
- Dáno: základna trojúhelníku je 8 cm, výška trojúhelníku je 6 cm
- Najdeme plochu trojúhelníku pomocí vzorce: Plocha = (8 * 6) / 2 = 24 viz^2
- Nastrčíme nalezenou plochu a výšku do vzorce pro výpočet strany trojúhelníku: Strana trojúhelníku = 2 * (24 / 6) = 8 viz
Délka boční strany trojúhelníku je tedy 8 cm.
Aplikace vzorce pro nalezení stran trojúhelníku
V geometrii existuje vzorec pro nalezení stran trojúhelníku podle jeho základny a výšky. Tento vzorec je založen na Pythagorově větě a umožňuje najít dvě strany trojúhelníku, pokud jsou známy délka základny a výška na této základně.
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát následující údaje:
- Délka základny trojúhelníku (a)
- Délka výšky dolů na základnu (h)
Vzorec pro nalezení stran trojúhelníku podle základny a výšky:
a^2 = b^2 + c^2
- a-délka základny trojúhelníku
- b-jedna ze stran trojúhelníku nalezená podle vzorce
- c - druhá strana trojúhelníku nalezená podle vzorce
Použití tohoto vzorce umožňuje najít hodnoty stran trojúhelníku, pokud jsou známy délka základny a výška. Pokud je například délka základny 6 jednotek a výška 4 jednotek, pak pomocí vzorce můžeme najít hodnoty stran trojúhelníku. Stačí dát známá data do vzorce a najít hodnoty stran.
- Délka základny trojúhelníku (a) = 6 jednotek
- Délka výšky dolů na základnu (h) = 4 jednotky
Pomocí vzorce najdeme hodnoty stran trojúhelníku:
S vědomím, že jedna ze stran trojúhelníku je 4 jednotky (h), můžeme najít druhou stranu vyřešením rovnice:
Hodnoty stran trojúhelníku jsou tedy: B je 4 jednotky, C je 4.47 jednotky.
Použití vzorce k nalezení stran trojúhelníku umožňuje snadno a přesně vypočítat hodnoty stran trojúhelníku, pokud jsou známy délka základny a výška.
Zobecněný vzorec pro výpočet stran trojúhelníku
Vzorec pro výpočet stran trojúhelníku podle základny a výšky má vzhled:
strana A = 2 * (plocha trojúhelníku / výška)
strana B = základ
strana C = sqrt(a^2-B^2)
Chcete-li použít tento vzorec, musíte znát základnu trojúhelníku a jeho výšku. Základna je jedna ze stran trojúhelníku, na které je výška snížena. Výška je kolmicí sníženou z vrcholu trojúhelníku na základnu.
Při používání tohoto vzorce je důležité vzít v úvahu, že všechny hodnoty musí být vyjádřeny ve stejných jednotkách měření.
Řekněme, že máme trojúhelník se základnou o délce 6 jednotek a výšce 4 jednotek. K nalezení všech stran trojúhelníku můžeme použít zobecněný vzorec:
strana A = 2 * (6 * 4 / 4) = 12
strana B = 6
strana C = sqrt(12^2 - 6^2) = sqrt (144 - 36) = sqrt (108) ≈ 10.39
Délka stran trojúhelníku a, B A C je tedy 12 jednotek, 6 jednotek a přibližně 10.39 jednotek.
Nyní víte, jak použít zobecněný vzorec k nalezení stran trojúhelníku na základně a výšce. Pamatujte, že tento vzorec je základem pro řešení mnoha problémů v geometrii spojených s trojúhelníky.