Nalezení poloměru kružnice přes lichoběžníkovou plochu je jedním z běžných úkolů v geometrii. Řešení tohoto problému vyžaduje použití speciálního vzorce, který vám umožní najít hodnotu poloměru podle známých parametrů lichoběžníku. Znáte-li tento vzorec a dodržujete-li určité kroky, můžete tyto úkoly snadno vyřešit.
Pro začátek budeme potřebovat znát vzorec pro výpočet plochy lichoběžníku. Lichoběžníková plocha se vypočítá jako polovina součtu její základny na její výšku. S tímto vzorcem můžeme přejít k dalšímu kroku: výpočet poloměru kružnice.
Vzorec pro výpočet poloměru kružnice je v závislosti na lichoběžníkové ploše. Lichoběžníková plocha je spojena s poloměrem kružnice následovně:poloměr kružnice se rovná kořeni ze vztahu lichoběžníkové plochy k pí. Pomocí tohoto vzorce a nalezené hodnoty plochy můžeme vypočítat poloměr kružnice, který pak bude mít přímý význam pro dokončení úkolu.
Vzorec pro výpočet poloměru kružnice podle lichoběžníkové plochy
Pro výpočet poloměru kružnice popsaného kolem lichoběžníku existuje speciální vzorec. Tento vzorec umožňuje určit poloměr kružnice podle známých parametrů lichoběžníku, včetně oblasti.
Vzorec pro výpočet poloměru kružnice je roven: r = √(S/π), kde r je obvodový poloměr, s je lichoběžníková Plocha.
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát hodnotu lichoběžníkové plochy. Oblast lichoběžníku lze nalézt podle vzorce: S = ((a + b) * h) / 2, kde a A b jsou lichoběžníkové základny, h je lichoběžníková výška.
S hodnotou lichoběžníkové plochy lze vypočítat poloměr kružnice popsané kolem tohoto lichoběžníku pomocí uvedeného vzorce.
Příklad řešení problému:
Úkol: Najděte poloměr kružnice popsaný kolem lichoběžníku, pokud je plocha lichoběžníku 32 centimetrů čtverečních.
Řešení: Je známo, že plocha lichoběžníku je 32 centimetrů čtverečních. Použijeme vzorec k nalezení poloměru kružnice: r = √(S/π). Když nastavíme hodnotu plochy (s = 32), dostaneme: r = √(32/π). Vypočítáme hodnotu poloměru kružnice pomocí kalkulačky nebo matematického programu: r ≈ 3,19.
Poloměr kružnice popsané kolem daného lichoběžníku je tedy přibližně 3,19 centimetru.
Příklady řešení problémů s nalezením poloměru kružnice přes lichoběžníkovou plochu
Podívejme se na několik příkladů úkolů, které vyžadují nalezení poloměru kružnice přes známou oblast lichoběžníku.
Příklad 1:
Dana lichoběžníková ABCD, ve které je základna AB rovnoběžná se základnou CD. Je známo, že plocha lichoběžníku je 48 čtverečních jednotek. Najděte poloměr kružnice popsané poblíž tohoto lichoběžníku.
Řešení:
Pro začátek najdeme délku základny lichoběžníku AB. Všimněte si, že úhlopříčka AC je průměr popsaného kružnice. Pomocí vlastností lichoběžníku můžeme zaznamenat následující poměr:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, najdeme délku základny AB.
K tomu použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu s vědomím výšky a délky základny CD:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, najdeme délku základny AB.
K tomu použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu s vědomím výšky a délky základny CD:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, najdeme délku základny AB.
K tomu použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu s vědomím výšky a délky základny CD:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, najdeme délku základny AB.
K tomu použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu s vědomím výšky a délky základny CD:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, najdeme délku základny AB.
K tomu použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu s vědomím výšky a délky základny CD:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastražujeme známé hodnoty:
Při řešení této rovnice o a + b získáme:
Zvažte obdélníkový trojúhelník ACD, ve kterém je segment AC přeponou a segmenty AD a CD katety. Použijeme Pythagorovu větu a zaznamenáme následující poměr:
kde AC je průměr popsaného kružnice, AD a CD délky katetrů trojúhelníku ACD.
Z podmínky úkolu je známo, že plocha lichoběžníku je 48 čtverečních jednotek. Pro nalezení výšky můžeme použít vzorec lichoběžníkového prostoru:
kde S je lichoběžníková plocha, a A b je délka lichoběžníkových bází, h je lichoběžníková výška.
Nastavíme známou hodnotu plochy a délky základny CD:
Při řešení této rovnice o a + b získáme:
Vzhledem k tomu, že úkol zahrnuje nalezení poloměru kružnice, zvažte pravoúhlý trojúhelník ACD, ve kterém je segment AC přeponou a segmenty AD a CD katety. Použijeme Pythagorovu větu a zaznamenáme následující poměr:
kde AC je průměr popsaného kružnice, AD a CD délky katetrů trojúhelníku ACD.
Nastražte nalezené hodnoty:
K nalezení poloměru kružnice je třeba najít polovinu průměru, tedy AC / 2:
r = (AC / 2) = sqrt((96 / h)^2 + h^2) / 2.
Poloměr kružnice popsané v blízkosti daného lichoběžníku je tedy roven sqrt((96 / h)^2 + h^2) / 2.
Příklad 2:
Dana lichoběžníková ABCD, která má základnu AB rovnoběžnou se základnou CD. Je známo, že plocha lichoběžníku je 60 čtverečních jednotek a délka základny AB je 10 jednotek. Najděte poloměr kružnice popsané poblíž tohoto lichoběžníku.
Řešení:
Pojďme se podívat na vzorec pro lichoběžníkovou plochu:
kde S je plocha trojúhelníku, a A b je délka bází trojúhelníku, h je výška trojúhelníku.
Nastražujeme známé hodnoty:
kde b je délka druhé základny trojúhelníku.
Při řešení této rovnice o h získáme:
Vložíme nalezenou hodnotu výšky do vzorce pro nalezení poloměru kružnice:
r = (AC / 2) = sqrt((10 + b)^2 + ((120 / (10 + b)) * 2)^2) / 2.
Poloměr kružnice popsané v blízkosti daného lichoběžníku je tedy roven sqrt((10 + b)^2 + ((120 / (10 + b)) * 2)^2) / 2.
To byly dva příklady řešení problémů najít poloměr obvodu přes lichoběžníkovou plochu. Při znalosti plochy a dalších parametrů lichoběžníku lze snadno najít poloměr kružnice popsané kolem ní pomocí příslušných vzorců a vlastností geometrických tvarů.