Polynom Žegalkin - je to algebraický polynom, který umožňuje popsat jakoukoli bulovu funkci kombinací logických operací a (logické násobení), nebo (logické sčítání) a ne (logické negace). Vytvoření polynomu Žegalkinu podle tabulky pravdivosti je jedním z klíčových kroků při analýze logických funkcí.
Tabulka pravdivosti - je to způsob reprezentace funkce Buly, který umožňuje určit hodnoty funkce pro všechny možné kombinace hodnot vstupních proměnných. Skládá se z zleva doprava uspořádaných sloupců představujících vstupní proměnné a posledního sloupce představujícího hodnotu funkce pro danou kombinaci vstupních proměnných.
Chcete-li vytvořit polynom Žegalkinu podle tabulky pravdivosti, musíte postupovat podle následujících kroků:
- Zapište funkci buleva jako zkrácený DNF (disjunktivní normální forma) nebo KNF (konjunktivní normální forma) podle tabulky pravdivosti. K tomu je třeba najít kombinace vstupních proměnných, ve kterých je funkce 1. Tyto kombinace tvoří konjunktury, které se kombinují v DNF nebo KNF pomocí operace nebo.
- Nahradit operaci nebo složit (XOR) a operace a násobení (AND). Také nahradit operaci není sčítání s constantou.
- Vyměňte proměnné za písmena abecedy. Každá proměnná je přiřazena písmeno, například X1, X2, X3 a tak dále.
- Nahrajte polynom Žegalkin ve formě algebraického vzorce pomocí získaných hodnot z předchozích kroků. V tomto případě jsou kombinace vstupních proměnných a jejich negace zapsány jako faktory a samotný polynom je postaven pomocí operací sčítání a násobení.
Konstrukce polynomu Žegalkinu podle tabulky pravdivosti umožňuje zkrátit výraz funkce Buly a prezentovat jej v algebraické formě, což je vhodné pro další matematické operace a analýzu funkce.
Co je polynom Žegalkinu?
Polynom Žegalkinu je jednou z hlavních forem reprezentace funkcí v bulové algebře. Používá se v různých oblastech, jako je digitální elektronika, kryptografie a teorie algoritmů.
Proces vytváření polynomu Žegalkinu je založen na tabulce pravdivosti funkce, kde každá kombinace hodnot proměnných odpovídá hodnotě funkce.
Polynom Žegalkinu má řadu užitečných vlastností, včetně možnosti provádět operace s funkcemi pomocí algebraických operací polynomů.
Polynom Žegalkinu umožňuje kompaktně prezentovat složité bulovy funkce a zjednodušit jejich analýzu. Může být také použit k řešení problému minimalizace funkcí bulů.
Je důležité poznamenat, že polynom Žegalkinu je jednoduchým a účinným způsobem reprezentace funkcí v bulové algebře, která má široké uplatnění v různých oblastech vědy a techniky.
Proč stavět polynom Žegalkin?
Konstrukce polynomu Žegalkinu umožňuje snížit složitost funkcí bulů a provést jejich analýzu a optimalizaci. Polynom Žegalkinu lze použít k určení minimální formy bulové funkce a k provádění různých operací, jako je syntéza a analýza logických obvodů, vytváření algoritmů a programů, navrhování a ověřování obvodů a další.
Kromě toho je stavba polynomu Žegalkinu součástí procesu řešení problému syntézy bulových funkcí. Když znáte polynom Žegalkinu, můžete určit, která kombinace vstupních proměnných povede k vysoké hodnotě funkce. To umožňuje analyzovat a optimalizovat provoz digitálních zařízení, jako jsou počítače, mikrokontroléry, spínací obvody a další.
Struktura polynomu Žegalkinu je tedy velmi praktická a je nedílnou součástí práce v oblasti bulových funkcí a digitální logiky.
Algoritmus pro tvorbu polynomu Žegalkinu
Kroky algoritmu pro stavbu polynomu Žegalkinu:
- Vytvořte tabulku pravdivosti funkce, včetně všech možných kombinací vstupních hodnot funkce.
- Umístěte vstupní hodnoty funkce do prvního sloupce tabulky pravdivosti.
- Umístěte druhý sloupec tabulky pravdivosti výstupní hodnoty funkce.
- Najděte řádky pravdivostní tabulky, kde výstupní hodnoty funkce jsou 1.
- Pro každý řádek, kde je výstupní hodnota 1, Vytvořte párování vstupních hodnot pomocí operace "nebo".
- Vytvořte polynom Žegalkinu kombinací všech konjugací z předchozího kroku pomocí operace "násobit binární hodnotou".
Zvažte například logickou funkci danou tabulkou pravdivosti:
| Vchod | Výstup |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Polynom Žegalkinu pro tuto funkci bude:
Výstup = (vstup a ne vstup)
Krok 1: Vytvoření tabulky pravdivosti
Začněme definicí proměnných ve výrazu. Pro každý vstup proměnné ve výrazu vytvoříme sloupec v tabulce pravdivosti. Počet řádků v tabulce pravdivosti bude definován vzorcem 2^n, kde n je počet proměnných ve výrazu.
Pro každý řádek v tabulce pravdivosti zapíšeme příslušné hodnoty proměnných. První řádek bude obsahovat všechny nuly, druhý řádek bude obsahovat všechny jednotky, třetí řádek bude mít první proměnnou nulovou a zbytek budou jednotky a tak dále.
Poté v posledním sloupci pravdivostní tabulky zapíšeme hodnoty výrazu pro každý řádek pomocí pravidel logické operace, která je ve výrazu nastavena. Pokud je výraz pro daný řádek pravdivý, napíšeme 1, pokud je nepravdivý 0.
Příklad tabulky pravdivosti pro výraz A And B:
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Tabulka pravdivosti je připravena a nyní můžeme přejít k dalšímu kroku - stavbě polynomu Žegalkinu.
Krok 2: stavba implantátu
Chcete-li vytvořit implicitní, měli byste zobrazit všechny řádky pravdivostní tabulky a do samostatné tabulky zapsat ty řádky, kde je funkce rovna 1. Poté seskupte řádky do implicitů a kombinujte je odstraněním literátů, které mají ve všech řádcích hodnotu 1. Tímto způsobem získáme sadu implantátů, které plně pokrývají všechny hodnoty funkce.
| Vstupní hodnota | Význam funkce |
|---|---|
| 0 0 0 | 0 |
| 0 0 1 | 0 |
| 0 1 0 | 1 |
| 0 1 1 | 1 |
| 1 0 0 | 0 |
| 1 0 1 | 1 |
| 1 1 0 | 0 |
| 1 1 1 | 1 |
Na základě této tabulky můžeme rozlišit následující implikace:
Tyto implikace zcela pokrývají všechny řádky pravdivostní tabulky, kde funkce přebírá hodnotu 1. Nyní můžeme tyto implantáty použít k vytvoření polynomu Žegalkinu.
Krok 3: minimalizace implantátu
Poté, co jsme postavili polynom Žegalkinu podle původní tabulky pravdivosti, je nutné minimalizovat implantát, aby se vytvořil nejkompaktnější tvar polynomu.
Minimalizace implikace spočívá ve spojení stejných nebo podobných implikací pomocí následujících metod:
- Petríkova metoda spočívá ve spojení implicitů, které mají stejný počet smysluplných proměnných a liší se pouze v jedné pozici.
- Metoda Quine-McCluskey-je založena na nalezení kruhových implantátů a jejich zpracování. Kruhový implantát je mnoho implicentů, které obsahují stejné 1 a 0 na více pozicích a liší se pouze v jedné pozici.
- Metoda Quine-spočívá v hledání neekvivalentních kruhových implicitů a jejich zpracování.
Po minimalizaci implantátu získáme nejefektivnější formu polynomu Žegalkinu, který se skládá z minimálního množství implantátů.
Příklad konstrukce polynomu Žegalkinu
Pro názornost zvažte příklad konstrukce polynomu Žegalkinu pro funkci f (x1, x2, x3) = 1 dané tabulkou pravdivosti:
| x1 | x2 | x3 | f(x1, x2, x3) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Krok 1: sestavíme tabulku pravdivosti pomocí binárních reprezentací proměnných a hodnot funkce:
| x1 | x2 | x3 | f(x1, x2, x3) | x1x2x3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 000 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 001 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 010 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 011 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 100 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 101 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 110 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 111 |
Krok 2: uspořádáme řádky pravdivostní tabulky podle rostoucích hodnot binární reprezentace. Dostaneme následující tabulku:
| x1x2x3 | f(x1, x2, x3) |
|---|---|
| 000 | 1 |
| 001 | 1 |
| 010 | 0 |
| 011 | 0 |
| 100 | 0 |
| 101 | 1 |
| 110 | 0 |
| 111 | 0 |
Výsledná tabulka je žegalkinova tabulka pro danou funkci.
Příklad tabulky pravdivosti
Pro názornou ilustraci procesu konstrukce polynomu Žegalkin se podíváme na následující tabulku pravdivosti:
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Tato tabulka uvádí všechny možné kombinace hodnot proměnných A, B A C spolu s příslušnými hodnotami funkce F. Na základě těchto hodnot lze vytvořit polynom Žegalkinu, což by byl výraz složený ze sloučenin a tvořící výstupní funkci.