Pravděpodobnost je důležitým pojmem v teorii pravděpodobnosti. Umožňuje posoudit možnost výskytu určité události a její relativní frekvenci v sérii experimentů.
V tomto případě uvažujeme o urně, která obsahuje 10 kuliček, z nichž 3 jsou červené. Úkolem je určit pravděpodobnost, že při výběru 3 koulí náhodně z urny budou všechny tři červené.
K vyřešení tohoto problému je nutné použít kombinatoriku. Existuje několik způsobů, jak vyřešit problém, jedním z nich je použití vzorce pravděpodobnosti:
P (výběr 3 červených koulí) = (počet způsobů, jak vybrat 3 červené koule ze 3) / (počet způsobů, jak vybrat 3 koule z 10)
Kde "počet způsobů, jak vybrat 3 červené koule ze 3" se rovná 1, protože v urně jsou celkem 3 červené koule a musíme je vybrat všechny. A "počet způsobů, jak vybrat 3 koule z 10" se vypočítá pomocí vzorce umístění bez opakování a rovná se 120.
Pravděpodobnost výběru 3 červených koulí z 10 v urně je tedy 1/120 nebo 0.0083333 (zaokrouhleno).
Co je pravděpodobnost?
Pravděpodobnost může být vyjádřena číslem od 0 do 1, kde hodnota 0 znamená nemožnost nástupu události a hodnota 1 je její absolutní platnost.
Definice pravděpodobnosti je založena na předpokladu, že všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné. Tento předpoklad se někdy nazývá princip rovnoměrného rozložení.
Pro výpočet pravděpodobnosti se používají různé metody. Jedním z nich je klasická metoda, která se používá v případech, kdy jsou všechny možné výsledky stejně pravděpodobné. Mezi další metody patří statistický přístup, analytická metoda a podmíněná pravděpodobnostní metoda.
Pravděpodobnost hraje důležitou roli v mnoha oblastech vědy a každodenního života. Používá se ve statistikách, ekonomii, fyzice, biologii, sociologii a dalších oborech pro analýzu, predikci a rozhodování.
Jak najít možnost výběru červených koulí
K nalezení pravděpodobnosti výběru červených koulí z urny Je nutné znát celkový počet koulí v urně a počet červených koulí. Předpokládejme, že máme v urně 10 kuliček, z toho 5 červených. Výběr koulí budeme zvažovat náhodně bez návratu.
K řešení těchto problémů lze použít kombinatoriku. Počet kombinací z n prvků podle k lze vypočítat podle vzorce:
Kde ! označuje faktoriál-součin čísel od 1 do daného čísla.
V našem případě máme 5 červených koulí, ze kterých musíme vybrat 3. Pomocí vzorce kombinací získáme:
= (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1)(2 * 1))
Takže máme 10 možností, jak vybrat 3 červené koule z urny.
Chcete-li najít možnost výběru 3 červených koulí, musíte počet příznivých výsledků rozdělit na celkový počet výsledků. V našem případě se celkový počet výsledků rovná počtu kombinací 10 prvků po 3:
= (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1)(7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1))
Pravděpodobnost výběru 3 červených koulí z 10 je tedy 10/120, což lze zjednodušit na 1/12.
Zařízení a složení urny
Složení urny určuje, které objekty z ní lze vybrat. V tomto případě urna obsahuje 10 kuliček a musíme vybrat 3 z nich. Červené kuličky jsou v tomto experimentu zajímavé. Naším úkolem je najít možnost výběru 3 červených koulí z 10.
Výsledek tohoto experimentu závisí na složení urny. Pokud urna obsahuje pouze 10 červených koulí, pravděpodobnost výběru 3 červených koulí bude 1. Pokud však urna obsahuje různé barvy koulí, pravděpodobnost bude záviset na počtu červených a ne červených koulí v urně.
Výpočet pravděpodobnosti výběru červených koulí
Pravděpodobnost výběru určitého počtu červených koulí z urny lze vypočítat pomocí kombinatoriky a principu umístění. Obecný vzorec pro výpočet pravděpodobnosti lze zapsat následovně:
P = (nCk) / (NSK)
- P - možnost výběru určitého počtu červených koulí
- n - počet červených koulí v urně
- k - počet koulí, které je třeba vybrat
- N - celkový počet koulí v urně
Použijeme-li tento vzorec na úkol s výběrem 3 červených koulí z 10, dostaneme:
P = (10C3) / (10C3)
- P - možnost výběru 3 červených koulí z 10
- (10C3) - počet kombinací 10 až 3, které lze vypočítat následovně:
Vypočítáním této kombinace můžete jeho hodnotu vložit do vzorce a získat požadovanou pravděpodobnost.
Příklady řešení problému
K vyřešení tohoto problému použijeme kombinatoriku a pravděpodobnost.
V urně je 10 kuliček, z toho 3 červené a 7 ne červené. Musíme najít možnost výběru 3 červených koulí z 10.
Existuje několik způsobů, jak tento problém vyřešit. Jedním z nich je použití kombinatorického vzorce.
| Koule | Červený | Ne červené |
|---|---|---|
| Celého | 3 | 7 |
| Vybrané | 3 | 0 |
Pravděpodobnost výběru 3 červených koulí z 10 lze vypočítat podle vzorce:
Pravděpodobnost = (počet způsobů, jak vybrat 3 červené koule) / (počet způsobů, jak vybrat 3 koule)
V tomto případě se počet způsobů, jak vybrat 3 červené koule, rovná 1 (protože v urně jsou pouze 3 červené koule).
Počet způsobů, jak vybrat libovolné 3 koule lze vypočítat podle vzorce kombinace:
Počet způsobů, jak vybrat libovolné 3 koule = C (10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.
Pravděpodobnost výběru 3 červených koulí z 10 je tedy stejná:
Pravděpodobnost = 1 / 120 ≈ 0.0083.