Představte si kostkovaný obdélník o rozměrech 199 x 991. Kolik buněk protíná jeho diagonálu?
Abychom tento problém vyřešili, nejprve se podívejme na to, jaké buňky v tomto obdélníku vůbec existují. Každá buňka má určité souřadnice: číslo řádku a číslo sloupce. V tomto případě máme 199 řádků a 991 sloupců.
Jak tedy určíte, kolik buněk protíná úhlopříčku? Úhlopříčka je čára, která spojuje dva protilehlé vrcholy obdélníku. V tomto případě úhlopříčka vede z levého horního rohu do pravého dolního rohu.
Úhlopříčka v kostkovaném obdélníku
Počet buněk, které protínají úhlopříčku v takovém obdélníku, lze vypočítat jednoduchým matematickým algoritmem. Délku obdélníku označíme jako a a šířku jako b. Počet buněk protínaných diagonálou se pak rovná součtu a A b mínus jejich největší společný dělitel: a + b - NoD(a, b).
Pro náš obdélník o rozměrech 199 x 991 klecí najdeme jeho úhlopříčku:
| Délka obdélníku (a) | Šířka obdélníku (b) | Největší společný dělitel (NoD(a, b)) | Počet buněk na úhlopříčce |
|---|---|---|---|
| 199 | 991 | 1 | 1189 |
Úhlopříčka v obdélníku o rozměrech 199 x 991 buněk tak protíná 1189 buněk.
Pomocí tohoto vzorce lze určit počet buněk protínaných diagonálou v jakémkoli kostkovaném obdélníku.
Buňky a úhlopříčky
Pro výpočet počtu buněk, které protínají úhlopříčku v kostkovaném obdélníku o rozměrech 199 x 991, je nutné zvážit strukturu daného obdélníku.
Tato obdélníková mřížka se skládá ze 199 řádků a 991 sloupců. Každá buňka je průsečíkem jednoho řádku a jednoho sloupce.
Úhlopříčka kostkovaného obdélníku vede z levého horního rohu do pravého dolního rohu. Protíná některé buňky tohoto obdélníku.
K určení počtu buněk protínajících úhlopříčku lze použít vzorec. Existují dva hlavní případy:
- Pokud se počet řádků a sloupců obdélníku liší, pak se počet průsečíků rovná největšímu společnému děliteli (NOD) čísel řádků a sloupců Plus jednomu, tj. NOD(199, 991) + 1.
- Pokud je počet řádků a sloupců obdélníku stejný, pak se počet průsečíků rovná počtu řádků (nebo sloupců), tj.
Umístěním hodnot do vzorce získáme výsledek-počet buněk protínaných úhlopříčkou daného kostkovaného obdélníku.
Úhlopříčka tedy protíná celkový počet buněk rovnající se NOD (199, 991) + 1 nebo 199, v závislosti na velikosti obdélníku.
Počet buněk na úhlopříčce
Abychom určili počet buněk, které překročí úhlopříčku v kostkovaném obdélníku o rozměrech 199 x 991, musíme vzít v úvahu vlastnosti jeho struktury. Takový obdélník se skládá z řádků a sloupců buněk.
Pro začátek určíme celkový počet buněk v obdélníku. Podle vzorce plochy můžeme zjistit, že to bude součin počtu řádků na počet sloupců, tedy 199 x 991 = 197,209 buněk.
Vertikální a horizontální diagonály nepřekračují buňky a procházejí jejich rohy. Abychom tedy našli počet buněk na diagonále, musíme určit, kolik diagonálních čar prochází každou buňkou mřížky.
Chcete-li to provést, zvažte sloupce a řádky, kterými úhlopříčka prochází.
Pokud vezmeme v úvahu všechny buňky zleva doprava na jedné úhlopříčce, projdeme nejkratší hranou obdélníku o rozměrech 199 x 991, tedy 199 vertikálních buněk.
Podobně, když vezmeme v úvahu všechny buňky shora dolů, které diagonálně procházejí, naše úhlopříčka překročí 991 buněk vodorovně.
Úhlopříčka tedy překročí 199 + 991 + 1 = 1191 Kč.
Vzorec pro výpočet počtu protínajících se buněk
K vyřešení tohoto problému můžeme použít následující vzorec pro výpočet počtu buněk, které protínají úhlopříčku v kostkovaném obdélníku:
Nechť P A Q jsou rozměry obdélníku (kde P je počet řádků, Q je počet sloupců). Celkový počet N buněk pak bude P * q.
Pro výpočet počtu protínaných buněk můžeme také použít následující vzorec:
- Pokud je P < Q, pak by počet protínajících se buněk byl p-1 (protože úhlopříčka protíná p-1 vodorovnou čáru)
- Pokud je P > Q, pak by počet protínajících se buněk byl Q - 1 (protože úhlopříčka protíná Q-1 svislou čáru)
- Pokud je P = Q, pak by počet protínajících se buněk byl p - 1 (protože úhlopříčka protíná P - 1 vodorovnou a p - 1 svislou čáru)
V našem konkrétním úkolu jsou rozměry obdélníku P = 199 a Q = 991. Protože Q > P, můžeme použít vzorec Q - 1 k výpočtu počtu protínajících se buněk. Počet protínajících se buněk je tedy 990.
Příklad výpočtu
K určení počtu buněk, které protínají úhlopříčku v kostkovaném obdélníku o rozměrech 199x991, lze použít geometrický přístup.
V tomto obdélníku je úhlopříčka přeponou trojúhelníku se stranami rovnajícími se jeho stranám. Úhlopříčka se tedy skládá ze 2 stejných úseků procházejících po stranách obdélníku.
První část prochází 199 buňkami vertikálně a 199 buňkami horizontálně. Celkem překračuje 199 + 199 - 1 = 397 buněk.
Druhá část také prochází 199 vertikálními buňkami a 199 buňkami vodorovně, počínaje bodem, kde první část končí. Tímto způsobem také protíná 397 buněk.
Celkový počet buněk protínajících úhlopříčku v daném obdélníku je tedy 397 + 397 = 794.