Derivace funkce je důležitým nástrojem matematické analýzy, který umožňuje vypočítat rychlost změny funkce v každém bodě její definiční oblasti.
Jednou z nejčastěji se vyskytujících funkcí je kosinus x. Často je také potřeba vypočítat derivát x kosinus na druhou. K tomu je třeba použít pravidlo diferenciace složité funkce.
Takže, ať máme funkci f (x) = (cos x)^2. Najdeme její derivát f'(x). K tomu je potřeba derivát externí funkce (cos x)^2 a derivát vnořené funkce (cos x).^p>
Co je derivát?
Derivace funkce v daném bodě ukazuje, k jaké změně dojde s funkcí při malé změně argumentu v tomto bodě. Popisuje tangenciální chování funkce a umožňuje řešit úkoly z různých oblastí, jako je fyzika, ekonomie a technické vědy.
K výpočtu odvozené funkce je nutné použít definici derivace nebo použít pravidla diferenciace funkcí. Derivát může být vyjádřen číselnou hodnotou nebo popsán analyticky v algebraické formě.
Pokud je například funkce f(x) = cos^2(x), derivát této funkce by byl F'(x) = -2sin(x)cos (x). To znamená, že rychlost změny funkce f(x) = cos^2(x) v každém bodě je dána vzorcem-2sin(x)cos (x).
Definice a základní vlastnosti
Funkce kosinus x na druhou (cos^2 (x)) je kompozicí funkce kosinus a sebe sama. Derivace kosinu se rovná mínus sinusu úhlu X, takže derivace kosinu na druhou bude rovna:
Derivát kosinus x na druhou se tedy rovná mínus dvěma součinům kosinu úhlu X a sinusu úhlu x.
Je důležité si všimnout, že derivát kosinus x na druhou není všude nulový. Hodnoty derivace budou záviset na úhlu X. v průběhu intervalu hodnot x se derivace změní. Maximální a minimální hodnoty derivátu budou odpovídat bodům skloňování funkce.
Derivát kosinus x na druhou
Pro nalezení derivátu kosinus x na druhou platí vzorec diferenciace součinu funkcí:
f'(x) = 2 * cos(x) * (-sin(x))
Pomocí vzorce derivace kosinu a sinusu získáme:
f'(x) = -2 * cos(x) * sin(x)
Odvozená funkce (cos(x))^2 se tedy rovná -2 * cos(x) * sin (x).
To znamená, že změna hodnoty funkce (cos(x))^2 při změně argumentu x je definována jako součin kosinu x a sinusu x vynásobený -2.
Výpočet derivace
Derivát funkce f(x) = cos^2 (x) lze nalézt použitím pravidla diferenciace složité funkce. Označíme g (x) = cos(x), pak f (x) = (g (x))^2.
K nalezení odvozené komplexní funkce použijeme vzorec(f(g(x)))' = f'(g(x))) * g'(x), kde f'(x) označuje odvozenou funkci f(x) a g'(x) odvozenou funkci g (x).
Kosinus derivát je mínus sinus, takže g'(x) = -sin (x). Ve vzorci nahradíme známé hodnoty: (cos^2(x))' = 2 * cos (x) * (- sin (x))).
Odvozená funkce cos^2(x) je tedy -2 * cos(x) *sin (x).
Graf odvozené funkce
Chcete-li vytvořit graf odvozené funkce, musíte nejprve najít derivát původní funkce. V tomto případě zvažte funkci f(x) = cos^2 (x) .
K nalezení derivace této funkce použijeme pravidlo derivace pro součin funkcí:
- Vynásobíme první funkci u(x) = cos(x) derivátem druhé funkce v'(x) = cos (x) .
- Vynásobíme druhou funkci v(x) = cos(x) derivátem první funkce u'(x) = -sin (x) .
- Sečteme výsledky získaných derivátů: f'(x) = u(x) * v'(x) + v(x) * u'(x) = cos(x) * cos(x) + cos(x) * (-sin(x)) = cos^2(x) - cos(x) * sin(x) .
Dostali jsme tedy derivát původní funkce: f'(x) = cos^2(x) - cos(x) * sin (x) .
Dále, Chcete-li vytvořit graf odvozené funkce, musíte vybrat určitý interval hodnot pro argument x a vypočítat hodnoty odvozené v těchto intervalech.
Pomocí výsledného výrazu pro derivát lze získat tabulku hodnot a vytvořit graf odvozené funkce f'(x) = cos^2(x) - cos(x) * sin(x) .