Čísla jsou nedílnou součástí našeho každodenního života. Obklopují nás všude: v matematice, fyzice, informatice a mnoha dalších vědeckých disciplínách. Pokud jde o počítání počtu čtyřmístných čísel s různými čísly, mnoho lidí se však potýká s obtížemi.
Čtyřmístná čísla jsou čísla složená ze čtyř číslic. Mohou začít od nuly, ale nemohou mít nulu uprostřed nebo na konci čísla. Čísla v těchto číslech mohou být různá, to znamená, že se nebudou opakovat. Je zajímavé zjistit, kolik takových čísel existuje.
K vyřešení tohoto problému lze použít kombinatoriku. Nejprve se podíváme na první číslo. Může to být kterákoli z deseti možných číslic-od nuly do devíti. Po určení první číslice zbývá pro výběr druhé číslice devět možných variant (za předpokladu, že druhá číslice se neshoduje s první). Stejně tak pro výběr třetí číslice zbývá osm možností a pro výběr čtvrté sedm.
Definice čtyřmístného čísla
Chcete-li vytvořit čtyřmístné číslo s různými číslicemi, musíte vybrat 4 číslice z desetimístného číselného systému (0 až 9) bez opakování a uspořádat je ve správném pořadí. Například číslo 1234 je čtyřmístné číslo, protože se skládá z číslic 1, 2, 3 a 4 a neopakují se.
Chcete-li zjistit, kolik čtyřmístných čísel s různými číslicemi existuje, můžete použít kombinatoriku. Protože první číslice by měla být od 1 do 9 a zbytek by mohl být některý ze zbývajících devíti, dostaneme:
| Pozice | Možné varianty |
|---|---|
| 1 | 9 |
| 2 | 9 |
| 3 | 8 |
| 4 | 7 |
Pomocí pravidla součinu získáme celkový počet čtyřmístných čísel s různými číslicemi:
9 * 9 * 8 * 7 = 4536
Existuje tedy 4 536 čtyřmístných čísel s různými čísly.
Unikátní čísla ve čtyřmístném čísle
Můžete se například divit, kolik čtyřmístných čísel existuje, ve kterých se každá číslice vyskytuje přesně jednou?
K vyřešení tohoto problému lze provést úvahy následovně:
- První číslice ve čtyřmístném čísle může být kterákoli z deseti možných číslic (0 až 9).
- Vzhledem k tomu, že první číslice je již vybrána, zbývá devět možných číslic pro výběr druhé číslice.
- Pro třetí číslici zůstává osm možných číslic a pro čtvrtou číslici sedm možných číslic.
- Počet čtyřmístných čísel s různými číslicemi se tedy rovná součinu deseti (možných číslic pro první pozici) devíti (možných číslic pro druhou pozici) osmi (možných číslic pro třetí pozici) sedmi (možných číslic pro čtvrtou pozici).
- Takže počet čtyřmístných čísel s různými číslicemi se rovná 10 * 9 * 8 * 7 = 5 040.
Existuje tedy 5 040 čtyřmístných čísel, ve kterých jsou všechna čísla odlišná.
Možné kombinace číslic ve čtyřmístném čísle
K nalezení všech možných kombinací číslic ve čtyřmístném čísle můžeme použít jednoduchý algoritmus pro přeřazení.
První číslice může být kterákoli z deseti možných číslic (0 až 9), ale nemusí být nulová. Po výběru první číslice nám zbývá devět možných číslic pro výběr druhé číslice (protože druhá číslice se nemůže shodovat s první). Stejně tak po výběru druhé číslice nám zbývá osm možných číslic pro výběr třetí číslice a po výběru třetí číslice nám zbývá sedm možných číslic pro výběr čtvrté číslice.
Celkový počet možných kombinací číslic ve čtyřmístném čísle lze tedy vypočítat jako součin počtu možných číslic pro každou pozici: 9 * 8 * 7 = 504.
Existuje tedy 504 různých čtyřmístných čísel se všemi různými číslicemi.
Příklady možných kombinací:
1234, 4567, 7890 atd.d.
Pomocí tohoto algoritmu můžeme snadno najít všechny kombinace číslic ve čtyřmístném čísle s různými číslicemi.
Výpočet počtu čtyřmístných čísel s jedinečnými čísly
Pro výpočet množství dat čísel lze použít kombinatoriku. Můžeme si představit všechna čtyřmístná čísla jako sekvenci:
kde každá číslice může mít hodnoty od 0 do 9 (pro první číslici od 1 do 9).
Pro první číslici tedy máme 9 možností (1 až 9). Pro druhou číslici nám zbývá 9 možností (0 až 9, ale již je použita jedna číslice), pro třetí číslici máme 8 možností (9 možností, ale již byly použity dvě číslice) a nakonec pro poslední číslici máme 7 možností (již byly použity tři číslice).
Počet čtyřmístných čísel s různými číslicemi se tedy rovná součinu počtu možností pro každou pozici:
$$9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536.$$
Existuje tedy 4 536 čtyřmístných čísel s jedinečnými čísly.