V našem každodenním životě se neustále setkáváme s mnoha volbami a rozhodnutími, která musíme učinit. Někdy se zdají bezvýznamné, ale i maličkosti, jako je výběr barvy rukojetí nebo jejich rozložení, mohou mít svůj význam. V našem případě jsou v ohnisku tři rukojeti: modrá, černá a zelená a dvě Penály, do kterých je třeba je rozložit.
Zdá se, že jde o jednoduchý úkol umístit tři předměty do dvou kontejnerů. Ale ve skutečnosti je třeba vzít v úvahu několik nuancí. Za prvé, pořadí rukojetí v penálu je důležité. Za druhé, každá rukojeť má k dispozici jakýkoli Penál. A za třetí, musíme určit počet všech možných variant rozkladu.
K řešení tohoto problému můžeme použít princip kombinatoriky. V našem případě musíme zvážit všechny možné kombinace tří prvků umístěných ve dvou kontejnerech. S ohledem na pořadí a dostupnost penálu pro každé pero můžeme jednoduše vynásobit počet možných možností pro každou pozici.
Pera různých barev
Existuje několik způsobů, jak uspořádat sadu rukojetí v různých barvách. Jedním z přístupů je rozkládat pera do různých penálů. Podívejme se na příklad sady tří rukojetí: modré, černé a zelené.
Chcete-li určit počet způsobů, jak rozdělit rukojeti do dvou penálů, můžete použít princip kombinatoriky. V tomto případě máme 3 rukojeti, které je třeba rozložit do 2 penálů. To znamená, že každé pero může být buď v jednom z penálů, nebo v jiném. Každá rukojeť má tedy 2 možnosti umístění.
Vzhledem k tomu lze vypočítat celkový počet způsobů, jak rozložit pera do penálů pomocí součinu možností pro každé pero. V tomto případě by se to rovnalo 2 * 2 * 2 = 8. Máme tedy 8 různých způsobů, jak rozdělit tři pera do dvou penálů.
Níže uvedená tabulka ukazuje všech 8 možných kombinací:
| № | První penalta | Druhá penalta |
|---|---|---|
| 1 | Modrá | Černá, Zelená |
| 2 | Modrá, Černá | Zelená |
| 3 | Modrá, Zelená | Černá |
| 4 | Černá | Modrá, Zelená |
| 5 | Černá, Zelená | Modrá |
| 6 | Zelená | Modrá, Černá |
| 7 | Modrá, Černá, Zelená | |
| 8 | Modrá, Černá, Zelená |
Kolik je všech možností?
K určení celkového počtu možností rozkladu tří rukojetí lze použít kombinatoriku modrou, černou a zelenou do dvou penálů.
Vzhledem k tomu, že pořadí rozkladu rukojetí v penálech je irelevantní, můžeme použít kombinaci. V tomto případě nás zajímá kombinace tří prvků po dvou. Vzorec počtu kombinací je zaznamenán následovně:
Cn k = n! / (k! * (n-k)!), kde n je celkový počet prvků, K je počet prvků vybraných pro kombinaci.
V našem případě n = 3 A k = 2, takže počet možných variant rozkladu rukojetí bude:
Celkem tedy existují 3 různé varianty rozkladu tří rukojetí do dvou penálů.
| № | První penalta | Druhá penalta |
|---|---|---|
| 1 | Modrá | Černá, Zelená |
| 2 | Černá | Modrá, Zelená |
| 3 | Zelená | Modrá, Černá |
Kolik možností bez ohledu na barvu penálů?
K vyřešení tohoto problému je třeba vzít v úvahu, že pořadí rukojetí v penálech je irelevantní, protože se díváme pouze na rozdíl mezi počtem rukojetí v každém penálu.
Abychom tedy našli počet možností bez ohledu na barvu penálů, můžeme použít kombinační přístup.
Představme si každý Penál jako sadu buněk, kde každá buňka představuje jedno pero.
Máme tři kliky, které musíme rozložit do dvou penalt. První Penál může obsahovat 0 až 3 knoflíky a počet rukojetí ve druhém penálu je dán počtem rukojetí v prvním. Tímto způsobem můžeme uvést všechny možné možnosti:
- 0 per v první penaltě, 3 pera ve druhé penaltě
- 1 pero v první penaltě, 2 pera ve druhé penaltě
- 2 rukojeti v první penaltě, 1 rukojeť ve druhé penaltě
- 3 pera v první penaltě, 0 per ve druhé penaltě
Existují tedy 4 možnosti rozkladu rukojetí bez ohledu na barvu penálů.
Možnosti umístění rukojetí v penálech
První možnost: do jedné penalty můžete dát modrou rukojeť a do druhé penalty černou a zelenou rukojeť.
Druhá varianta: modrou rukojeť vložte do jedné penalty a černou do druhé penalty, zbývající zelenou rukojeť vložte do kterékoli z penálů.
Třetí možnost: modrou rukojeť vložte do jedné penalty a zelenou do druhé penalty, zbývající černou rukojeť také vložte do kterékoli z penálů.
Máme tedy tři možné možnosti umístění rukojetí v penálech, vzhledem k tomu, že rukojeti se liší barvou.
Počet možností modrého pera v každém penálu
Každou rukojeť dáme do jednoho ze dvou penálů. Každá rukojeť má dvě možnosti umístění-být v prvním nebo druhém penálu. Pro každé pero tedy existují 2 možné možnosti.
Vzhledem k tomu, že máme tři rukojeti, celkový počet možností rozkladu rukojetí do penálů se rovná počtu možností pro každé pero: 2 * 2 * 2 = 8.
Existuje tedy 8 možností, ve kterých může být modrá rukojeť umístěna v každém penálu.
Počet možností černého pera v každém penálu
Máme tři pera: modrá, černá a zelená. Z těchto tří rukojetí dáme dvě do penálu. Pokud chceme zjistit, kolik různých možností umístění černého pera v každém penálu je, můžeme zvážit několik případů.
1. Černá rukojeť v první penaltě, Černá rukojeť ve druhé penaltě:
V tomto případě máme pouze jeden způsob, jak umístit černou rukojeť - v první penaltě a ve druhé penaltě. V tomto případě tedy máme jen jednu možnost.
2. Černá rukojeť v první penaltě, Černá rukojeť ne ve druhé penaltě:
V tomto případě může být černá rukojeť v prvním penálu a zelená nebo modrá rukojeť ve druhém penálu. Máme tedy dvě možnosti umístění černé rukojeti.
3. Černá rukojeť není v první penaltě, Černá rukojeť ve druhé penaltě:
V tomto případě může být černá rukojeť ve druhém penálu a zelená nebo modrá rukojeť v prvním penálu. Proto máme také dvě možnosti umístění černé rukojeti.
4. Černá rukojeť není v první penaltě, Černá rukojeť ne ve druhé penaltě:
V tomto případě může být černá rukojeť buď v prvním penálu, nebo ve druhém penálu, zatímco zelená nebo modrá rukojeť v jiném penálu. Máme tedy také dvě možnosti umístění černé rukojeti.
Takže v součtu máme 1 + 2 + 2 + 2 = 7 různých možností umístění černého pera do každého penálu.
Počet možností zeleného pera v každém penálu
Zvažte všechny možné kombinace rozkladu tří rukojetí (modrá, černá a zelená) do dvou penálů. Pomocí pravidla násobení najdete počet možností umístění zelené rukojeti.
První Penál může obsahovat kteroukoli ze tří rukojetí. Po umístění první rukojeti zbývají dvě rukojeti pro umístění ve druhé penaltě. První Penál tak může obsahovat zelenou rukojeť, černou rukojeť nebo modrou rukojeť.
Druhá penalta může obsahovat jednu ze dvou zbývajících rukojetí. Pokud první Penál obsahuje zelenou rukojeť, pak druhý Penál může obsahovat pouze černé nebo modré pero. Pokud první Penál obsahuje černé pero, pak druhý Penál může obsahovat pouze zelené nebo modré pero. Pokud první Penál obsahuje modré pero, pak druhý Penál může obsahovat pouze zelené nebo černé pero.
Takže máme následující možnosti umístění zelené rukojeti do každého penálu:
První penalta: zelená rukojeť
První penalta: Černá rukojeť
První penalta: modrá rukojeť
Existuje tedy 6 různých možností umístění zelené rukojeti do každého penálu.