Aby bylo možné určit počet smysluplných číslic v zápisu desetinného čísla 421 v číselné soustavě se základnou 5, je nutné provést převod čísla z desítkové soustavy do systému se základnou 5. V desítkové soustavě představuje číslo 421 součet součinů číslic čísla na odpovídající stupně deseti.
K převodu čísla 421 do systému se základnou 5 lze použít dělení se zbytkem. Počínaje nejvyšším stupněm základny dělíme číslo 421 na základnu 5 a zapisujeme zbytek. Poté rozdělíme výslednou část na základnu 5 a zbytek znovu zapíšeme. Proces pokračuje, dokud se soukromé nestane nulou.
Výsledkem je následující záznam čísla 421 v systému se základnou 5: 3241. Odpověď na otázku o počtu významných číslic v tomto záznamu je zřejmá: 4. Počet smysluplných číslic v zápisu desetinného čísla 421 v číselném systému se základnou 5 se tedy rovná 4.
Význam číselných systémů
Například při použití číselného systému se základnou 10 (desítková soustava) máme 10 různých hodnot - od 0 do 9. Číslo 421 v desítkové soustavě bude mít tři významné číslice-4, 2 a 1.
Nyní si představujeme číslo 421 v číselném systému se základnou 5. V tomto systému máme pouze 5 různých hodnot - od 0 do 4. Číslo 421 v systému se základnou 5 bude mít čtyři významné číslice - 4, 2, 1 a 0.
Založení číselného systému tedy přímo ovlivňuje počet smysluplných číslic v čísle. Čím větší je základ systému, tím více smysluplných čísel může být reprezentováno.
Systém počítání
Jedním z nejběžnějších číselných systémů je desítková soustava, která používá deset číslic – od 0 do 9. Přitom každá číslice má svou váhu odpovídající stupni deset. Například číslo 421 v desítkové soustavě bude reprezentováno následovně: 4 * 10^2 + 2 * 10^1 + 1 * 10^0.
Existují však i jiné číselné systémy, jako je binární, osmičková a hexadecimální. V binární číselné soustavě se používají dvě číslice-0 a 1 a každá číslice má hmotnost odpovídající stupni dvojky. Osmimístný systém používá osm číslic od 0 do 7 a každá číslice má hmotnost odpovídající stupni osmičky. Hexadecimální systém používá šestnáct číslic-od 0 do 9 a písmena A, B, C, D, E, F a každá číslice má hmotnost odpovídající stupni šestnáct.
| Systém počítání | Základy | Použitá čísla |
|---|---|---|
| Desetinný | 10 | 0-9 |
| Dvojková | 2 | 0-1 |
| Osmičkový | 8 | 0-7 |
| Hexadecimální | 16 | 0-9, A-F |
Tento úkol se zabývá číslem 421 v číselném systému se základnou 5. To znamená použít pět číslic– 0, 1, 2, 3, 4. Počet hodnotných číslic v čísle 421 v tomto systému lze určit podle vzorce: log(421) / log (5), kde logaritmus na základě 5. Výsledkem této operace bude číslo 3.59. Vzhledem k tomu, že v číselném systému nemůže být podíl číslice, počet smysluplných číslic nemůže být větší než 3. Zápis čísla 421 v číselném systému se základnou 5 by tedy obsahoval tři významné číslice: 4, 2, 1.
Základ číselné soustavy
Báze, známá také jako báze, číselné systémy určují počet jedinečných znaků, které lze použít k reprezentaci čísel. Desítková soustava, kterou běžně používáme v každodenním životě, má základnu 10, protože k reprezentaci čísel se používají číslice od 0 do 9.
V jiných číselných systémech však může být základem jakékoli přirozené číslo větší než jedno. Například v binární číselné soustavě je báze 2, protože k reprezentaci čísel se používají pouze dva znaky - 0 a 1.
V tomto případě se uvažuje o číselném systému se základnou 5. To znamená, že k reprezentaci čísel lze použít pět jedinečných znaků - 0, 1, 2, 3 a 4.
Desetinné číslo 421
Desetinné číslo 421 se zapisuje do desetinné číselné soustavy pomocí tří číslic: 4, 2 a 1. Každá číslice označuje určitý počet jednotek, které přispívají k celkové částce. Číslo 4 stojí na místě stovky a má hodnotu 400. Číslo 2 stojí na místě desítky a má hodnotu 20. Číslo 1 stojí na místě jednotek a má hodnotu 1. Sečtením všech hodnot získáme konečnou hodnotu čísla 421 v desítkové soustavě číslic.
Desetinná soustava
K zápisu čísla v desítkové soustavě se používají číslice od 0 do 9. Každá číslice má svou váhu a hodnota čísla je určena součtem součinů číslic na odpovídající hmotnosti.
| Výboj | Hmotnost | Hodnota |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 4 |
| 1 | 10 | 2 |
| 2 | 100 | 1 |
V tomto příkladu je číslo 421 zapsáno v desítkové soustavě číslic. Skládá se ze tří výbojů: výboj 2, výboj 1 a výboj 0. Každý výboj má svou hmotnost: výboj 0 má hmotnost 1, výboj 1 má hmotnost 10 a výboj 2 hmotnost 100. Číslo 421 v desítkové soustavě lze nakreslit jako 4 * 100 + 2 * 10 + 1 * 1 = 421.
V tomto zápisu desetinného čísla je tedy 421 v číselném systému se základnou 5, což znamená číslice 3.
Hodnota číslic v desetinném záznamu čísla 421
V čísle 421 je první číslice 4, která stojí na první pozici vlevo. To znamená, že číslice 4 přispívá k celkové hodnotě čísla 4 * 10^2 = 400.
Druhá číslice je 2, stojí na druhé pozici. Přispívá 2 * 10^1 = 20.
Třetí číslo je 1, stojí na třetí pozici. Přispívá 1 * 10^0 = 1.
Číslo 421 v desetinném záznamu lze tedy představit jako součet příspěvků každé z jeho číslic: 400 + 20 + 1 = 421.
Zápis čísla 421 do číselného systému se základnou 5
V desítkové soustavě je číslo 421 součtem děl stupňů čísla 10 na jeho výboje (platné znaky) v následující sekvenci:
- 4 * 10^2 = 400
- 2 * 10^1 = 20
- 1 * 10^0 = 1
V číselném systému se základnou 5 bude zápis čísla 421 vypadat podobným způsobem, ale pomocí stupňů čísla 5:
- 3 * 5^3 = 375
- 4 * 5^2 = 100
- 1 * 5^1 = 5
- 1 * 5^0 = 1
V číselném systému se základnou 5 je tedy číslo 421 zapsáno jako 3411.
Čísla 421
Číslo 421 je zapsáno v číselném systému se základnou 5 jako 3201.
V tomto čísle jsou 4 výboje: tisíce, stovky, desítky a jednotky.
V řádu tisíců stojí 3, v řádu stovek-2, v řádu desítek - 0, v jednotkách jednotek - 1.
Hodnota číslic v zápisu čísla 421 v číselném systému se základnou 5
Desetinné číslo 421 lze zapsat do číselného systému se základnou 5. Každá číslice v tomto záznamu má svůj význam, který závisí na její pozici v čísle.
První číslice 4 znamená, že číslo má 4 pětky na stupni 2 (5^2) nebo 4 * 25. To nám dává 100 pětek.
Druhá číslice 2 znamená, že číslo má 2 pětky na stupni 1 (5^1) nebo 2 * 5. To nám dává deset pětek.
Třetí číslice 1 znamená, že číslo má 1 pět na stupni 0 (5^0) nebo 1 * 1. To nám dává jedničku.
Sečtením všech těchto hodnot získáme celkový počet pětek v čísle 421 zaznamenaném v číselné soustavě se základnou 5: 100 + 10 + 1 = 111 pětek.