Rovnice a jejich řešení jsou jedním ze základních témat v matematice. Někdy mohou mít rovnice nekonečné množství řešení, někdy ani jedno. Je velmi zajímavé studovat, kolik řešení může mít každá rovnice.
V tomto článku se podíváme na rovnici 2x 2 + 1 = 2x a pokusíme se zjistit, kolik řešení má. K tomu použijeme metody algebry a vyřešíme rovnici, abychom zjistili, které hodnoty x splňují danou rovnici.
Také si vzpomeneme, co je kvadratická rovnice a jak ji řešit. Kvadratická rovnice se nazývá ax 2 + bx + c = 0, kde a, b A c jsou známá čísla, přičemž a ≠ 0. Při řešení kvadratické rovnice používáme vzorec kořenů, který umožňuje najít konkrétní hodnoty x, které splňují rovnici.
Jaký je počet řešení rovnice 2x2 + 1 = 2x?
K určení počtu řešení této rovnice je nutné ji předložit v kanonické podobě:
- Přeneseme všechny slagované na levou stranu rovnice, abychom získali čtvercový trojčlen roven nule: 2x2 - 2x + 1 = 0
- Nyní se podívejme na diskriminanta této rovnice: diskriminant = b2-4ac = (-2)2 - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4
- Protože diskriminant je menší než nula, Rovnice nemá skutečné kořeny.
Takže rovnice má 2x² + 1 = 2x žádné skutečné kořeny, jinými slovy, nemá řešení.
Celkový tvar kvadratické rovnice
Rovnice dostala název "čtvercová", protože jejím nejvyšším stupněm je čtverec proměnné (x 2 ). Koeficient b a c mohou to být libovolná reálná čísla.
K nalezení řešení kvadratické rovnice lze použít diskriminační vzorec:
Pokud D > 0, rovnice má dva různé platné kořeny.
Pokud D = 0, pak rovnice má jeden platný kořen.
Kvadratické rovnice jsou jedním z hlavních objektů studia v algebře a nacházejí uplatnění v různých oblastech matematiky a fyziky.
Srovnání levé a pravé strany rovnice
Pro řešení této rovnice je nutné porovnat levou a pravou stranu rovnice a najít hodnoty proměnné x, ve kterých jsou si navzájem rovny.
Rovnice má tvar: 2x2 + 1 = 2x.
Pro začátek to dáme na levou stranu rovnice.:
Nyní přivedeme podobné členy:
Tento druh kvadratické rovnice se nazývá kanonická forma.
Pro řešení této rovnice můžete použít čtvercový trojčlen, diskriminační vzorec nebo metodu dokončení čtvercového trojčlenu.
Při řešení této rovnice se zjistí, že diskriminant D = b2 - 4ac je nulový.
To znamená, že rovnice má dva stejné kořeny. Počet řešení rovnice 2x2 + 1 = 2x se tedy rovná 2.
Rozdělení rovnice do kanonické formy
Kanonická rovnice má tvar:
ax 2 + bx + c = 0
kde a, b a c - koeficienty rovnice.
Pro rozklad rovnice 2x 2 + 1 = 2x do kanonického tvaru je nutné převést všechny členy na jednu stranu rovnice:
2x 2 - 2x + 1 = 0
Nyní je rovnice kanonicky tvarována a je možné provést další matematické operace, jako je řešení pomocí diskriminanta nebo jiných metod.
Uvedení rovnice do čtvercového vzhledu
Chcete-li jej uvést do čtvercového vzhledu, musíte převést všechny složené do jedné části rovnice, abyste získali nulu vpravo:
Pak uděláme zjednodušení:
Nyní máme kvadratickou rovnici, kde je stupeň proměnné x roven 2. Tuto rovnici lze vyřešit pomocí standardních metod řešení kvadratických rovnic, například pomocí diskriminačního vzorce nebo metod faktorizace.
Diskriminant a jeho význam pro stanovení počtu rozhodnutí
Diskriminační hodnota umožňuje klasifikaci řešení rovnice:
- Pokud je D > 0, rovnice má dva různé platné kořeny. To znamená, že graf paraboly (rovnice druhu y = ax2 + bx + c) protíná osu X ve dvou bodech.
- Pokud je D = 0, pak má rovnice jeden platný kořen. To znamená, že graf paraboly se dotýká osy X V jednom bodě.
- Pokud je D < 0, Rovnice nemá skutečné kořeny. To znamená, že graf paraboly nepřekračuje osu X.
Vraťme se k rovnici 2x2 + 1 = 2x. pro určení počtu jeho řešení je nutné vypočítat hodnotu diskriminanta:
D = (-2)² - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4
Řešení rovnice pomocí kvadratického vzorce
Přeneseme vše, co je spojováno do levé části rovnice, dostaneme: 2x2 - 2x + 1 = 0.
Nyní, když porovnáme s obecným druhem rovnice, zjistíme, že a = 2, b = -2 a c = 1.
Dalším krokem je použití vzorce odmocniny:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Vložením hodnot koeficientů do vzorce získáme:
x = (-(-2) ± √((-2)² - 4 · 2 · 1)) / (2 · 2)
Extrakce odmocniny ze záporného čísla není možná v rámci reálné aritmetiky, takže získáme komplexní kořeny:
Tato rovnice má tedy dva komplexní kořeny: x₁ = (2 + 2i) / 4 a x₂ = (2 - 2i) / 4.
Kontrola kořenů, aby odpovídaly původní rovnici.
K určení počtu řešení rovnice 2x2 + 1 = 2x je nutné zkontrolovat nalezené kořeny, aby odpovídaly původní rovnici. Původní rovnice 2x2 + 1 = 2x má podobu paraboly, kde koeficient při x2 je 2, koeficient při x je -2 a volný člen je 1.
Pokud nalezenou hodnotu x nastražíte místo x do původní rovnice a získáte rovnost, znamená to, že nalezený kořen je řešením původní rovnice. Pokud nalezená hodnota x není vložena do původní rovnice nebo po substituci vznikne nerovnost, znamená to, že daný kořen není řešením původní rovnice.
Umístěním nalezených kořenů namísto x do rovnice 2x2 + 1 = 2x lze ověřit jejich shodu. Pokud obě hodnoty nastíněných kořenů dávají rovnost, pak má původní rovnice dvě řešení. Pokud pouze jedna hodnota dává rovnost, pak rovnice má jedno řešení. Pokud obě hodnoty nedávají rovnost, Rovnice nemá řešení.