Konvexní mnohoúhelník je postava, jejíž všechny rohy jsou menší než 180 stupňů a všechny strany se nepřekrývají. Jednou z klíčových charakteristik takového tvaru je počet úhlopříček, které lze nakreslit z jednoho z jeho vrcholů. V tomto článku se podíváme na různé způsoby počítání počtu úhlopříček a podrobně se zastavíme u každé z nich.
Pro začátek si ujasněme, co je to úhlopříčka. Úhlopříčka konvexního mnohoúhelníku je segment, který spojuje dva jeho vrcholy, které nejsou sousední. Takže každý vrchol v konvexním mnohoúhelníku má schopnost spojit se s každým dalším vrcholem kromě sousedního. Ale kolik diagonálů lze z každého vrcholu nakreslit? O tom se budeme dále bavit.
Ať máme konvexní mnohoúhelník s n vrcholy. Pokud začneme vést úhlopříčky z jednoho z vrcholů, můžeme vybrat některý ze zbývajících (n-3) vrcholů, abychom jej spojili s původním. Ukazuje se, že pro každý vrchol konvexního mnohoúhelníku můžeme nakreslit (N-3) úhlopříčku. Vzhledem k tomu, že v mnohoúhelníku je pouze n vrcholů, celkový počet úhlopříček, které lze nakreslit z jednoho z vrcholů, je (n-3)*(n-1).
Kolik úhlopříček lze nakreslit z 1 vrcholu konvexního mnohoúhelníku?
Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme pochopit, co je úhlopříčka a jak souvisí s vrcholy konvexního mnohoúhelníku.
Úhlopříčka mnohoúhelníku se nazývá segment spojující jeho dva vrcholy, které nejsou sousedními. Jinými slovy, úhlopříčky jsou segmenty, které jsou vedeny mezi libovolnými dvěma vrcholy kromě těch, které jsou spojeny segmenty-stranami mnohoúhelníku.
Abychom našli počet úhlopříček, které lze nakreslit z 1 vrcholu, musíme vzít v úvahu následující: z vybraného vrcholu můžeme diagonálně vést k jakémukoli jinému vrcholu, kromě sousedského vrcholu. Celkem máme N-1 vrchol, za předpokladu, že mnohoúhelník se skládá z n vrcholů.
Počet úhlopříček, které lze nakreslit z 1 vrcholu konvexního mnohoúhelníku, se tedy rovná N-1.
Pokud se například mnohoúhelník skládá ze 6 vrcholů, pak počet úhlopříček, které lze nakreslit z 1 vrcholu, bude 6-1=5.
Pokud se mnohoúhelník skládá z 8 vrcholů, pak počet úhlopříček, které lze nakreslit z 1 vrcholu, bude 8-1=7.
První způsob
První způsob vedení diagonální čáry z jednoho vrcholu konvexního mnohoúhelníku je v následujících krocích:
- Vyberte jeden vrchol mnohoúhelníku, nazývejme jej vrchol a.
- Nakreslete čáru z vrcholu a na každý jiný vrchol, kromě sousedních.
- Výsledné čáry se nazývají diagonály mnohoúhelníku.
Počet úhlopříček, které lze nakreslit z jednoho vrcholu mnohoúhelníku, se tedy rovná počtu ostatních vrcholů s výjimkou sousedních.
Příklad: pokud má mnohoúhelník 8 vrcholů, pak lze z každého vrcholu nakreslit 5 úhlopříček.
Druhý způsob
Pro začátek vytvoříme tabulku se dvěma sloupci. V levém sloupci označíme čísla vrcholů, ze kterých vedeme úhlopříčky, a v pravém sloupci označíme počet možných úhlopříček, které lze nakreslit z každého vrcholu.
| Číslo vrcholu | Počet úhlopříček |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
Jak je vidět z tabulky, počet úhlopříček, které lze nakreslit z vrcholu, se rovná jeho číslu mínus 1. Například z vrcholu číslo 3 lze nakreslit 2 úhlopříčky, z vrcholu číslo 6 - 5 úhlopříček.
Druhý způsob tedy umožňuje snadno a názorně určit počet úhlopříček vedených z každého vrcholu konvexního mnohoúhelníku.
Třetí způsob
Pomocí třetí metody můžete nakreslit diagonály z každého vrcholu konvexního mnohoúhelníku na každý vrchol, kromě sousedních. K tomu je třeba:
- Vyberte si jeden z vrcholů mnohoúhelníku.
- Nakreslete úhlopříčku od tohoto vrcholu ke všem ostatním vrcholům kromě sousedních.
- Opakujte kroky 1 a 2 pro každý vrchol mnohoúhelníku.
Takže výběrem vrcholu A přejdeme diagonály z něj k vrcholům B, C A D. Poté vybereme vrchol B a provedeme úhlopříčky od něj k vrcholům A, C a D.tuto operaci zopakujeme pro všechny vrcholy mnohoúhelníku. V důsledku toho získáme všechny možné úhlopříčky.
Třetí způsob tedy umožňuje vést z jednoho vrcholu konvexního mnohoúhelníku úhlopříček, s výjimkou úhlopříček vedoucích k sousedním vrcholům.
Čtvrtý způsob
Pátý způsob
Pátý způsob je následující: nakreslete úhlopříčku z vrcholu mnohoúhelníku pouze do vrcholů, které jsou 2 od daného vrcholu.
K tomu je vybrán jeden z vrcholů mnohoúhelníku, ze kterého je třeba nakreslit úhlopříčky. Poté jsou všechny vrcholy mnohoúhelníku ve vzdálenosti 2 od zvoleného vrcholu.
Další jsou diagonály z vybraného vrcholu do každého nalezeného vrcholu.
Pátý způsob tedy umožňuje nakreslit úhlopříčky z jednoho vrcholu mnohoúhelníku do určité sady vrcholů vzdálených 2 od daného vrcholu.