Kontrola vzájemné jednoduchosti tří daných čísel

Vzájemná jednoduchost je zvláštní vlastnost čísel, když nemají společné dělitele kromě jedničky. Taková kontrola je často vyžadována v matematice, zejména při práci s algoritmy a šifrováním. V tomto článku se podíváme na metody testování vzájemné jednoduchosti tří čísel a uvedeme příklady jejich použití.

Existuje několik přístupů k ověření vzájemné jednoduchosti. Jedna z nejjednodušších metod je založena na Euklidově algoritmu. S ním lze najít největší společný dělitel dvou čísel. Pokud se výsledek rovná jedné, pak jsou čísla vzájemně jednoduchá.

Chcete-li otestovat vzájemnou jednoduchost tří čísel a, b A c, musíte nejprve najít NoD(a, b) a poté zkontrolovat, zda je tento NOD vzájemně prvočíslo s číslem c. pokud ano, pak jsou všechna tři čísla vzájemně prvočísla. Jinak mají společné dělitele a nejsou vzájemně jednoduché.

Podívejme se na příklad: ať máme tři čísla a = 15, b = 28 a c = 9. Nejprve najdeme NOD (15, 28) pomocí Euklidova algoritmu. Rozdělíme 28 na 15 a dostaneme 1 a zbytek 13. Poté vydělíme 15 číslem 13 a získáme část 1 a zbytek 2. Posledním krokem je dělení čísla 13 na 2, jehož výsledkem bude 6. Takže NOD (15, 28) = 1. Nyní zbývá zkontrolovat, zda je číslo 1 reciproční prvočíslo s číslem 9. Je zřejmé, že tato čísla nemají společné dělitele kromě jednotky. Čísla 15, 28 a 9 jsou tedy vzájemně jednoduchá.

Metody kontroly vzájemné jednoduchosti tří čísel

Vzájemná jednoduchost dvou čísel znamená, že tato čísla nemají společné dělitele kromě jedničky. V případě tří čísel je však ověření jejich vzájemné jednoduchosti o něco složitější. Níže je několik metod, které lze použít k ověření vzájemné jednoduchosti tří čísel.

Metoda 1: Kontrola přes největší společný dělitel (NOD)

Největší společný dělitel (NOD) dvou čísel lze vypočítat pomocí Euklidova algoritmu. Tato metoda může být rozšířena o kontrolu NOD tří čísel. Pokud se NOD tří čísel rovná jedné, pak jsou tato čísla vzájemně jednoduchá.

Metoda 2: Přemíra všech možných dělitelů

Chcete-li zkontrolovat vzájemnou jednoduchost tří čísel, můžete procházet všemi možnými děliteli jednoho z čísel a zkontrolovat, zda jsou zbývající dvě čísla násobkem tohoto dělitele. Pokud žádné z čísel není násobkem dělitele, pak jsou tato čísla vzájemně jednoduchá.

Metoda 3: Použití Eulerovy věty

Eulerova věta tvrdí, že pokud jsou dvě čísla vzájemně prvočísla, pak vztažení jednoho čísla na stupeň rovnající se Fi funkci druhého čísla a odebrání zbytku z dělení na toto číslo dává jednotku. Tato metoda může být rozšířena o testování vzájemné jednoduchosti tří čísel. Pokud každé z čísel, které je postaveno na Fi funkci zbývajících dvou čísel, dá zbytek jednotky, když je toto číslo vyděleno, pak jsou tři čísla vzájemně jednoduchá.

Algoritmus pro ověření vzájemné jednoduchosti

Jedním z těchto přístupů je použití euklidova algoritmu. Euklidův algoritmus je založen na principu, že pokud je největší společný dělitel dvou čísel 1, pak jsou tato čísla vzájemně jednoduchá. Euklidův algoritmus používá dělení se zbytkem k sekvenčnímu nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

Příklad algoritmu pro ověření vzájemné jednoduchosti dvou čísel:

function isCoprime(a, b) return a === 1;>

Pro ověření vzájemné jednoduchosti tří čísel lze tento algoritmus použít v sérii pro každý pár čísel. Chcete-li například zkontrolovat, zda čísla 12, 15 a 18 jsou vzájemně jednoduchá, postupujte podle následujících kroků:

function areCoprime(a, b, c) console.log(areCoprime(12, 15, 18)); // Выведет true

Algoritmus pro kontrolu vzájemné jednoduchosti tedy umožňuje určit, zda jsou daná čísla vzájemně jednoduchá nebo ne. Tento algoritmus je založen na euklidově algoritmu a lze jej použít k ověření vzájemné jednoduchosti nejen dvou, ale i tří a více čísel.

Příklady ověření vzájemné jednoduchosti tří čísel

Vzájemná jednoduchost tří čísel znamená, že tato čísla nemají společné dělitele kromě 1. K ověření vzájemné jednoduchosti tří čísel lze použít několik metod:

Metoda euklidovského algoritmu: Nechť jsou uvedena tři čísla a, b A c. pro ověření vzájemné jednoduchosti stačí zkontrolovat, že NOD(NoD(a,b),c) je 1. Pokud je tato podmínka splněna, pak jsou čísla a, b A c vzájemně jednoduchá.

Příklad: Podívejme se na vzájemnou jednoduchost čísel 12, 18 a 25. Aplikujeme euclidy algoritmus pro nalezení NOD:

NOD (12, 18) = NOD(18, 12) = 6

NOD (6, 25) = NOD(25, 6) = 1

Čísla 12, 18 a 25 jsou tedy vzájemně jednoduchá.

Metoda rozkladu na jednoduché faktory: Nechť jsou dána tři čísla a, b A c. rozložíme všechna tři čísla na prvočísla a zkontrolujeme, že nemají společné prvočísla. Pokud jsou všechny faktory různé, pak jsou čísla vzájemně jednoduchá.

Příklad: Pojďme se podívat na vzájemnou jednoduchost čísel 8, 9 a 14. Rozložíme čísla na prvočísla:

Protože se faktory liší, čísla 8, 9 a 14 jsou vzájemně jednoduchá.

Test vzájemné jednoduchosti tří čísel lze tedy provést pomocí euklidovského algoritmu a metody rozkladu na prvočísla. Tyto metody umožňují určit, zda jsou tři čísla vzájemně jednoduchá nebo ne.