Řešení problémů pomocí poměru je jednou ze základních metod v matematice. Umožňuje najít neznámé veličiny na základě vztahu mezi známými daty. Poměr je rovností dvou vztahů a používá se k nalezení neznámých veličin na základě poměru již známých. Tato metoda najde uplatnění v různých oblastech-od fyziky a ekonomiky až po domácí úkoly.
Použití poměru se provádí vytvořením rovnosti dvou zlomků, kde jsou známé hodnoty v čitatelích a neznámá hodnota ve jmenovateli. Po vytvoření poměru jej lze vyřešit křížovým násobením-součin čísel jedné úhlopříčky se rovná součinu čísel druhé úhlopříčky.
Použitelnost poměru v řešení úkolů je ilustrována následujícím příkladem: je stanoveno, že 9 pracovníků zvládlo úkol za určitý počet dní. Je nutné zjistit, kolik pracovníků může splnit úkol za 4 dny. Pomocí proporce lze tento problém vyřešit, protože proporce odráží poměr mezi počtem pracovních dnů a dnů.
Jak vyřešit problém pomocí poměru?
Chcete-li vyřešit úkol o počtu pracovníků, kteří mohou splnit úkol v určitém časovém období, je třeba znát počáteční poměr mezi pracovní dobou a časem.
Uveďme příklad: nechte původně úkol dokončit 9 pracovníků za 10 dní. Nyní je třeba najít počet pracovníků, kteří budou schopni splnit stejný úkol za 4 dny.
K tomu lze použít proporce:
9 pracovníků / 10 dní = x pracovníků / 4 dny
Dále je možné vyřešit výslednou rovnici týkající se X, kde X je požadovaný počet pracovníků:
9 * 4 = 10 * x
Známá data
V zadání bylo uvedeno, že úkol splnilo 9 pracovníků. Počet zaměstnanců je 9.
Úkol také udává, za kolik dní byl úkol splněn. V tomto případě je úkol splněn za 4 dny.
Hledané hodnoty
Pro řešení tohoto úkolu s proporcí je nutné zjistit, kolik pracovníků může splnit úkol za 4 dny, pokud 9 pracovníků zvládlo nějakou dobu.
Nechte X-počet pracovníků potřebných k dokončení úkolu za 4 dny. Pak můžete vytvořit poměr:
9 práce dokončit úkol v y dny
X pracovníků dokončit úkol ve 4 dnech
Hodnotu Y lze nalézt rozdělením času stráveného prací 9 zaměstnanci na počet pracovníků:
Y = (9 pracovních dnů * y dnů) / x pracovníků
Nyní můžete nastrčit nalezenou hodnotu Y do poměru a najít X:
9 pracovních dnů * Y dní = x pracovních dnů * 4 dny
X = (9 pracovních dní * Y) / 4 dny
Po nalezení hodnoty Y je tedy možné vypočítat, kolik pracovníků je potřeba k dokončení úkolu za 4 dny.
Definice poměru
Obvykle se poměr zapisuje jako a: b = c: d, kde a A c jsou stejné veličiny a b A d jsou jiné veličiny. Zde a A b označují první pár odpovídajících veličin a c a d druhý pár.
Poměr je užitečný při řešení různých úkolů. Může být například použit k nalezení hodnoty neznámé veličiny, pokud jsou známy hodnoty jiných veličin a poměr mezi nimi.
Řešení problému pomocí poměru se skládá z několika kroků. Nejprve je nutné zapsat poměr na základě podmínky úkolu. Poté je třeba najít hodnotu neznámé veličiny a přeskupit do proporcí další známé hodnoty. Nakonec, vložením známé a nalezené hodnoty do poměru lze určit výsledek úkolu.
Rozhodnutí podle vzorce
K vyřešení tohoto problému pomocí poměru lze použít následující vzorec:
Počet pracovníků * Pracovní doba = výsledek práce
Z podmínek úkolu je známo, že úkol splnilo 9 pracovníků a je třeba zjistit, kolik pracovníků může splnit úkol za 4 dny. Nechť se požadovaný počet pracovníků rovná x. pak bude poměr vypadat následovně:
Pro řešení poměru je třeba zjistit, jaká velikost X bude vyhovovat této rovnosti. K tomu lze provést následující kroky:
9 * 1 = x * 4
9 = x * 4
X = 9 / 4
X = 2.25
Takovým způsobem, 2.25 pracovníci budou moci úkol dokončit za 4 dny.
První krok v řešení
V tomto úkolu máme poměr, který lze zaznamenat následovně:
9 pracovníků - 4 dny = x pracovníků - 1 den
K vyřešení problému musíme vyjádřit neznámý počet pracovníků (X) prostřednictvím známých veličin.
Použitím proporční vlastnosti můžeme zapsat následující rovnici:
Výsledná rovnice nám umožňuje najít neznámý počet pracovníků (X) za 1 den.
Dále, abychom našli počet pracovníků (X) za 4 dny, můžeme nalezenou hodnotu jednoduše vynásobit 4.
K vyřešení úkolu tedy musíme vypočítat hodnotu X a poté ji vynásobit 4, abychom našli počet pracovníků, kteří budou schopni dokončit úkol za 4 dny.
Druhý krok v řešení
Pro řešení úlohy pomocí poměru je nutné určit poměr mezi počtem pracovníků a dobou plnění úkolu. Víme, že 9 pracovníků zvládlo úkol za určitý počet dní.
K nalezení počtu pracovníků schopných splnit úkol za 4 dny můžeme použít proporce:
počet pracovníků / počet dní = počet pracovníků / počet dní
Víme, že 9 pracovníků dokončit úkol během několika dní, takže to můžeme zaznamenat jako:
9 / x = kolik pracující_mogut_vyplnit_zadání_za_4_dna / 4
Dále můžeme tento poměr zjednodušit křížově vynásobením čísel:
9 * 4 = x * kolik pracujích_mogut_vypnět_zadání_za_4_dna
Nyní můžeme výsledný poměr vyřešit nalezením hodnoty neznámého x. vynásobením čísel na levé straně rovnice dostaneme:
36 = x * kolik pracují_mogut_vyplnit_zadání_za_4_dna
Chcete-li najít hodnotu x, rozdělíme obě strany rovnice na kolik pracujích_mohut_vyplnit_zadání_za_4_dna:
x = 36 / kolika pracující_mogut_vyplnit_zadání_za_4_dna
Nyní můžeme nastražit hodnotu kolika pracující_mohut_vyplnit_zadání_za_4_dna, abychom našli odpověď na úkol.
Význam proměnných
K vyřešení úkolu lze použít poměr: počet pracovníků odpovídá době plnění úkolu.
Z podmínek úkolu je známo, že 9 pracovníků splnilo úkol za 4 dny.
Nechte x-počet pracovníků, kteří mohou splnit úkol za 4 dny.
Poměr tedy bude následující:
- 9 pracovních dnů-4 dny
- Pracovní doba: 4 dny
Tím, že dosadíme známé hodnoty, získáme:
- 9 pracovních dnů-4 dny
- Pracovní doba: 4 dny
Najdeme tedy hodnotu proměnné x, která ukazuje, kolik pracovníků může úkol dokončit za 4 dny.
Odpověď na úkol
K nalezení počtu pracovníků, kteří mohou splnit úkol za 4 dny, použijeme proporce.
Z podmínek úkolu je známo, že úkol splnilo 9 pracovníků.
Za 4 dny je vykonáno určité množství práce, které odpovídá 9 pracovníkům.
Je třeba zjistit, kolik pracovníků zvládne stejný počet práce za 4 dny.
9 pracovníků / 4 dny = x pracovníků / 4 dny
Kolik pracovníků tedy může splnit úkol za 4 dny-9.