Geometrie, která je jednou z nejstarších věd, zůstává nevyčerpatelným zdrojem úžasných objevů a nečekaných spojení. Jednou z takových zajímavých vazeb je vztah mezi vepsaným úhlem a středovým úhlem, který je důležitý v geometrii a umožňuje nám vypočítat jejich součet.
Vepsaný úhel, jak název napovídá, je tvořen obloukem kružnice, který leží uvnitř rohu a dotýká se jeho stran. Poměr vepsaného úhlu k délce oblouku, o který se opírá, se nazývá středový úhel. Označuje se písmenem C a měří se ve stupních.
Je třeba poznamenat, že součet vepsaného úhlu a středového úhlu je 180 stupňů. Tato vlastnost dostala název "vepsaný úhel a jeho konjugovaný středový úhel". Zajímavé je, že tato vlastnost nezávisí na velikosti sektoru, na kterém je vepsaný úhel založen, a provádí se v jakémkoli bodě kružnice.
Součet vepsaného a středového úhlu v geometrii
Vepsaný úhel - je to úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jeho strany protínají kružnici ve dvou bodech. Oblouk kružnice, mezi nimiž leží vepsaný úhel, se nazývá oblouk vepsaného úhlu.
Středový úhel - je to úhel, jehož vrchol je středem kružnice a jeho strany protínají kružnici ve dvou bodech. Obvodový oblouk, mezi kterým leží centrální úhel, se nazývá oblouk centrálního úhlu.
Součet vepsaného úhlu a středového úhlu, který má stejný oblouk kružnice, je vždy 180 stupňů. Tato vlastnost geometrických úhlů je důsledkem věty o třech obloucích.
Věta o třech obloucích říká, že pokud tři oblouky kružnice tvoří úhly, pak je součet těchto úhlů 360 stupňů. V tomto případě, pokud je jeden z oblouků obloukem vepsaného úhlu, pak úhel tvořený dalšími dvěma oblouky na kružnici bude poloviční než středový úhel tvořený stejnými oblouky.
Pro každý obvod lze tedy formulovat následující pravidlo: součet zadaného úhlu a odpovídajícího centrálního úhlu je 180 stupňů. Toto pravidlo lze použít k řešení problémů s konstrukcí a výpočtem geometrických tvarů.
Určení zadaného úhlu
Otevřený vepsaný úhel je úhel, který leží uvnitř kružnice, jeho strany se dotýkají kružnice, ale nepřekračují ji. Otevřený úhel se měří obloukem, mezi jehož stranami spočívá. Pokud je například oblouk roven 60 stupňům, bude otevřený vepsaný úhel roven 60 stupňům.
Celý vepsaný úhel je úhel, který leží uvnitř obvodu, jeho strany protínají kružnici a spočívají na průměru. Celý vepsaný úhel je vždy 180 stupňů, protože celá otáčka je 360 stupňů a úplný úhel zabírá polovinu otáčky.
Součet vepsaného a středového úhlu tvořeného dvěma hordy procházejícími stejným bodem na kružnici je 360 stupňů. Tato vlastnost je důsledkem věty o centrálním úhlu, která tvrdí, že centrální úhel tvořený obloukem je polovina úhlu zapsaná ve stejném oblouku.
Pomocí vlastností zadaných a centrálních úhlů můžete řešit různé geometrické úkoly, jako je nalezení neznámých úhlů, délek oblouků nebo velikostí kružnic. Znalost těchto vlastností umožňuje snazší pochopení a řešení problémů souvisejících s kružnicemi a jejich prvky.
Určení středového úhlu
Hlavními charakteristikami centrálního úhlu jsou jeho míra a Oblouk, o který se opírá.
Míra středového úhlu je určena ve stupních, minutách a sekundách. Rovná se délce oblouku, o který se opírá úhel dělený poloměrem kružnice.
Oblouk, o který se opírá středový úhel, vyjadřuje délku části kružnice uzavřené mezi koncovými body úhlu.
Součet vepsaného úhlu a středového úhlu, oba vznikající při kružnici, jsou zásadně stejné a rovnají se polovině míry oblouku.
Součet zadaného a středového úhlu
Podstatou otázky je, kolik stupňů je součet zadaného a středového úhlu. Ukazuje se, že tento součet je vždy 360 stupňů. To lze vysvětlit následovně.
Vepsaný úhel se rovná polovině oblouku kružnice opřené o tento úhel. Středový úhel se rovná oblouku kružnice, který je opřen o tento úhel. Součet vepsaného a středového úhlu je tedy roven oblouku kružnice opřenému o vepsaný úhel.
Z vlastností kružnice je známo, že součet všech oblouků kružnice je 360 stupňů. Součet vepsaného a středového úhlu je tedy také 360 stupňů.
Tato vlastnost vepsaného a středového úhlu se používá při řešení problémů s geometrií a při měření úhlových veličin v rovině.
Příklad použití vzorce
Pro názornost rozebereme příklad použití vzorce pro výpočet součtu zadaného a středového úhlu.
Ať máme kružnici se středem O a poloměrem r. Představme si, že na kružnici je bod A, ze kterého jsou vedeny dva akordy AB A AC. Abychom vypočítali součet zadaného a středového úhlu, musíme znát délky chordů AB A AC.
Řekněme, že délka AB chordů je D1 a délka AC chordů je D2. Součet vepsaného a středového úhlu (α + β ) lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:
α + β = (d1 / r + d2 / r) * 180°
Například, pokud je délka AB chordů 8 cm a délka AC chordů je 12 cm a poloměr kružnice je 5 cm, pak součet vepsaného a středového úhlu bude roven:
α + β = (8 cm / 5 cm + 12 cm / 5 cm) * 180° = (1.6 + 2.4) * 180° = 4 * 180° = 720°
Součet zadaného a středového úhlu v tomto příkladu je tedy 720°.