Je zajímavé vědět, po jaké době těleso hozené vertikálně nahoru rychlostí 30 m/s dosáhne výšky 25 metrů. Pro výpočet této doby lze použít zákony klasické mechaniky.
V tomto úkolu jsou výsledky prezentovány v systému SI. Je známo, že při házení tělesa svisle nahoru je počáteční rychlost 30 m/s, výška je 25 metrů a gravitační zrychlení je přibližně 9,8 m/s2. Je třeba najít čas, za který se tělo dostane do uvedené výšky.
K nalezení času lze použít rovnici pohybu těla spojující počáteční rychlost, čas a ujetou vzdálenost. V případě vertikálního hodu se používá následující rovnice:
Zkoumáme čas dosažení výšky opuštěného těla
K vyřešení tohoto problému můžete použít rovnici pohybu těla spojující čas, počáteční rychlost, zrychlení a ujetou vzdálenost. V našem případě je zrychlením volný pád, který je přibližně 9,8 m / s2.
Při počáteční rychlosti 30 m / s, zrychlení 9,8 m / s2 a ujeté vzdálenosti 25 metrů( výška) lze použít vzorec:
h = v0*t + (g*t²)/2
kde H je výška, v0 je počáteční rychlost, g je zrychlení volného pádu a T je čas.
Po nastražení známých významů bude vzorec vypadat:
25 = 30*t - (9,8*t²)/2
Tato rovnice je čtvercová a umožňuje najít čas řešením kvadratické rovnice. Při jeho řešení lze získat přesnou hodnotu času, kterým tělo dosáhne výšky 25 metrů.
Studium doby dosažení výšky opuštěného těla tak umožňuje přesněji předpovídat jeho pohyb a předpovídat výsledky fyzikálních experimentů.
Zjistěte a analyzujte čas cesty a rychlost
K vyřešení tohoto problému budeme muset použít vzorec dynamiky přímočarého pohybu těla:
- $ h$ $ $ - výška, na kterou se tělo zvedlo,
- $ $ v_0$$ - počáteční rychlost těla (v tomto případě 30 m/s),
- $$t$ $ - čas cesty,
- $g $ $ $ - zrychlení volného pádu (přijato 9.8 m/s2).
S vědomím, že $$H$ $ $ $ je 25 metrů, můžeme tyto hodnoty hodit do rovnice a najít čas cesty:
Dále můžeme tuto rovnici uvést do čtvercového vzhledu:
$$4.9t^2 - 30t + 25 = 0$$
Použijeme diskriminanta k nalezení kořenů této rovnice:
Protože diskriminant se rovná kladnému číslu, máme dva platné kořeny:
| Kořen | Hodnota času, t |
|---|---|
| $$t_1$$ | $$\frac>$$ |
| $$t_2$$ | $$\frac>$$ |
Vyřešením těchto rovnic najdeme hodnoty času cesty:
Prozkoumáme počáteční údaje pro výpočet
Pro řešení tohoto problému známe následující počáteční údaje:
- Počáteční rychlost těla: 30 m/s
- Nadmořská výška: 25 m
Pomocí těchto dat budeme schopni určit čas, který tělo potřebuje k dosažení uvedené výšky.
Aplikujte fyzikální zákony na úkol
K vyřešení tohoto problému musíme použít fyzikální zákony související s pohybem těles.
Prvním krokem je stanovení počátečních dat. Je dáno, že tělo je pohozeno svisle nahoru počáteční rychlostí 30 m/s a dosahuje výšky 25 m.
Zákon zachování energie nám umožňuje určit, že kinetická energie těla v počátečním okamžiku se rovná potenciální energii v konečném okamžiku. Kinetická energie je vyjádřena vzorcem K = (1/2)mv^2, kde m je tělesná hmotnost, v je rychlost. Potenciální energie je vyjádřena vzorcem P = mgh, kde m je tělesná hmotnost, g je zrychlení volného pádu, H je výška.
V počátečním okamžiku je tedy kinetická energie K1 rovna (1/2) mv^2 a potenciální energie P2 je mgh.
V konečném okamžiku, kdy tělo dosáhne výšky 25 m, je kinetická energie k2 0, protože tělo je v klidu a potenciální energie P1 je MGH.
Vložením hodnot do příslušných vzorců získáme rovnici:
(1/2)mv^2 + mgh = mgh
Zjednodušením rovnice získáme:
(1/2)mv^2 = mgh
Dále, snížením tělesné hmotnosti m na obou stranách rovnice, získáme:
(1/2)v^2 = gh
Nyní je možné najít čas, kterým tělo dosáhne výšky 25 m. k tomu použijeme vzorec pro volný pád:
h = (1/2)gt^2
Nastavíme hodnotu zrychlení volného pádu g = 9,8 m / s^2 a výšky h = 25 m:
25 = (1/2)(9.8)t^2
Vyřešíme rovnici o čase t a dostaneme:
t = √(2h/g)
Vložením hodnot do vzorce získáme:
t = √(2 * 25 / 9.8)
Vypočítáme hodnotu a zjistíme, že čas, kterým tělo dosáhne výšky 25 m, je přibližně 1,43 sekundy.
Pomocí fyzikálních zákonů jsme tedy byli schopni určit čas, kterým tělo dosáhne dané výšky.
Řešení rovnice pro určení času
K určení času, po kterém tělo dosáhne výšky 25 metrů, použijeme rovnici vertikálního pohybu těla.
Pohybová rovnice pro tělo hozené svisle nahoru je následující:
h = v0 * t - (g * t^2) / 2
- h - výška, kterou je třeba najít (v našem případě 25 m)
- v0 - počáteční rychlost (v našem případě 30 m/s)
- g - zrychlení volného pádu (přijmeme 9,8 m/s 2 )
- t - doba, po kterou tělo dosáhne výšky (požadovaná velikost)
Vložíme známé hodnoty do rovnice a vyřešíme je s ohledem na čas:
25 = 30 * t - (9,8 * t^2) / 2
Výsledná rovnice je kvadratická rovnice se záporným koeficientem při t^2. Když to vyřešíme, najdeme dva kořeny, z nichž jeden bude pozitivní a bude představovat fyzický smysl času, zatímco druhý bude negativní a nebude mít žádný fyzický význam.