Posadit hosty ke stolu se může zdát jako jednoduchý úkol, ale pokud jde o počet možných kombinací, situace je o něco složitější. Pokud jde o 5 hostů a 5 míst, každý z hostů může obsadit kterékoli z pěti dostupných míst. Ale kolik způsobů existuje?
K zodpovězení této otázky lze použít kombinatoriku. Počet způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu s 5 místy, lze vypočítat pomocí vzorce přeskupení bez opakování. Tento vzorec je následující:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Existuje tedy 120 možných způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst. Je však třeba poznamenat, že v tomto případě záleží na pořadí sezení, takže každá permutace bude považována za samostatný způsob.
Počet způsobů
Pro řešení tohoto problému na kombinatoriku je nutné určit počet způsobů, jak se 5 hostů usadí u stolu z 5 míst. K tomu můžeme použít principy permutací a kombinací.
Permutace je uspořádaný vzorek prvků z dané množiny. V tomto případě každý host zaujímá jedno místo u stolu. První host tak může obsadit jedno z pěti možných míst, druhý host je jedním ze čtyř zbývajících, třetí je jedním ze tří, čtvrtý je jedním ze dvou a pátý je posledním zbývajícím místem. Celkový počet permutací se tedy rovná:
5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
V tomto případě však není pořadí hostů důležité. To znamená, že tato možnost se sazenicí prvního hosta na první místo, druhého na druhé a tak dále se rovná variantě s jakýmkoli jiným řádem u stolu. Pomocí principu kombinací se můžeme zbavit účetnictví řádu.
Kombinace je neuspořádaný vzorek prvků z dané množiny. Pro výpočet počtu kombinací můžeme použít vzorec kombinací:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Kde n je celkový počet prvků (hostů), K je počet prvků, ze kterých je třeba vybrat (místa u stolu). V tomto úkolu musíme vybrat 5 míst z 5. Vypočítáme počet kombinací:
C(5, 5) = 5! / (5! * (5 - 5)!) = 5! / (5! * 0!) = 1 / 1 = 1
Počet způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst, se tedy rovná 1.
5 hostů u stolu z 5 míst
Úkolem je usadit 5 hostů u stolu s 5 místy. K vyřešení tohoto problému můžeme použít kombinatoriku.
Počet způsobů, jak ubytovat hosty, bude určen permutacemi, protože pořadí sezení je důležité.
Pro první místo u stolu máme 5 možností výběru jednoho z pěti hostů. Po výběru prvního hosta máme 4 hosty, kteří se mohou rozhodnout pro druhé místo v tabulce. Stejně tak na třetím místě zůstávají 3 hosté, na čtvrtém 2 Hosté, na pátém místě 1 host.
Počet způsobů, jak ubytovat hosty, se bude rovnat počtu možností na každém místě. Celkový počet způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst, bude:
Máme tedy 120 způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst.
Počet permutací
Chcete-li vyřešit problém se zasedáním 5 hostů u stolu s 5 místy, musíte zjistit, kolik všech existuje způsobů, jak tyto hosty přeskupit. K tomu lze použít pojem faktoriál čísla.
Faktoriál čísla je označen symbolem ! a je součinem všech přirozených čísel od 1 do daného čísla. Takže faktoriál čísla 5 je označen jako 5! a rovná 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Každý host může obsadit jedno z pěti míst u stolu. Proto lze celkový počet možných permutací vypočítat jako faktoriál čísla 5.
Takže počet způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst, se rovná 5! = 120.
Pravidla přepočítávání
K určení počtu způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst, se používají přepočítací pravidla. V tomto případě lze vyhledaný počet způsobů nalézt pomocí vzorce pro umístění bez opakování.
Vzorec pro umístění bez opakování je následující:
An k = n! / (n - k)!
kde n počet prvků a k - počet míst.
V našem případě máme 5 hostů (n = 5 5 míst (k = 5). Vložením těchto hodnot do vzorce získáme:
A5 5 = 5! / (5 - 5)! = 5! / 0! = 5! / 1 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Existuje tedy 120 způsobů, jak usadit 5 hostů u stolu z 5 míst.