Obvod trojúhelníku je součet délek jeho stran. A co když je trojúhelník obdélníkový a lze do něj vložit kružnici? Jak najít obvod takového trojúhelníku? V tomto článku se podíváme na to, jak najít obvod v pravoúhlém trojúhelníku s integrovaným obvodem.
Pravoúhlé trojúhelníky jsou zvláštní, protože mají dvě kolmé strany. Do těchto trojúhelníků lze vejít kružnici, která se vnitřně dotkne všech tří stran trojúhelníku. Tento kružnice se nazývá vepsaný kružnice. Její poloměr je vzdálenost od středu kružnice k libovolné straně trojúhelníku.
Chcete-li najít obvod v pravoúhlém trojúhelníku s integrovaným obvodem, musíte znát délky stran trojúhelníku a poloměr vloženého kružnice. Obvod tohoto trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce: obvod = délka první strany + délka druhé strany + délka třetí strany
Nyní, když víme, jak najít obvod v pravoúhlém trojúhelníku s integrovaným obvodem, můžeme tento vzorec použít a vyřešit problém v každém konkrétním případě. Hodně štěstí při řešení úkolů a nezapomeňte zkontrolovat své odpovědi!
Co je obvod v pravoúhlém trojúhelníku s integrovaným obvodem?
V trojúhelníku s vepsaným kružítkem se kružnice dotýká každé ze stran trojúhelníku. Struktura takového trojúhelníku má některé rysy. Pro pravoúhlý trojúhelník s integrovaným obvodem platí následující poměr:
- Součet délek katetů se rovná průměru kruhu.
- Součet délek katetů se rovná součtu délek poloměrů trojúhelníku a kružnice.
- Obvod rozděluje přeponu na dvě délky, jejichž délky jsou poloměry trojúhelníku a kružnice.
Chcete-li najít obvod pravoúhlého trojúhelníku s vepsaným obvodem, musíte složit délky jeho stran: délku přepony a součet délek katetů. Při znalosti poloměru kružnice lze vyjádřit délky katetů jeho prostřednictvím. Obvod trojúhelníku lze tedy vyjádřit pouze poloměry trojúhelníku a kružnice.
Určení obvodu
1. Vypočítejte délku každé strany trojúhelníku. K tomu lze použít Pythagorovu větu, která říká, že přepona čtverce pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců katetů.
2. Najděte poloměr kružnice. K tomu lze použít vzorec poloměru, který jej vyjadřuje přes plochu trojúhelníku a semiperimetr. Poloměr vepsané kružnice se rovná ploše trojúhelníku rozdělené na semiperimetr.
3. Vypočítejte délku obvodu. K tomu lze použít vzorec délky kružnice, který je vyjádřen poloměrem a číslem π. Délka kružnice se rovná součinu poloměru o dva a číslu π.
4. Najděte obvod trojúhelníku přidáním délky kružnice k součtu délek stran trojúhelníku.
S vědomím obvodu trojúhelníku s integrovaným obvodem lze provést další výpočty a použít tyto informace k řešení problémů s geometrií nebo k posouzení vlastností tvaru.
Jak najít perimetr?
| Strana trojúhelníku | Vzorec pro nalezení |
|---|---|
| Katetr a | a |
| Katetr b | b |
| Přepona c | c = √(a² + b²) |
| Poloměr obvodu r | r = (a + b - c) / 2 |
Obvod trojúhelníku se rovná součtu všech jeho stran:
Obvod = a + b + c
Řekněme, že máme pravoúhlý trojúhelník s katetami a = 3 A b = 4 a vepsaný obvod s poloměrem r = 1.
Nejdřív najdeme přeponu.:
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Pak najdeme poloměr kružnice.:
r = (3 + 4 - 5) / 2 = 1
A nakonec najdeme obvod trojúhelníku.:
Obvod = 3 + 4 + 5 = 12
Obvod tohoto pravoúhlého trojúhelníku s vepsaným obvodem je tedy 12.
Příklady řešení problémů
Zvažte několik příkladů řešení problémů s nalezením obvodu v pravoúhlém trojúhelníku s integrovaným obvodem:
Příklad 1:
Jsou známy délky katetů pravoúhlého trojúhelníku a = 3 cm a b = 4 cm.musíte najít obvod trojúhelníku.
Pro nalezení obvodu trojúhelníku nejprve najdeme přeponu pomocí Pythagorovy věty:
c = √(a2 + b2) = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5 viz
Poté najdeme poloměr vepsaného kružnice pomocí vzorce r = (a + b-c) / 2:
r = (3 + 4 - 5) / 2 = 1 viz
Dále najdeme obvod trojúhelníku složením délek všech jeho stran:
P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 cm
Příklad 2:
Je známa přepona pravoúhlého trojúhelníku c = 10 cm a poloměr vepsaného kruhu r = 3 cm.musíte najít obvod trojúhelníku.
Nejprve najdeme součet katetů pomocí Pythagorovy věty:
a² + b² = c² - 2ab = 10² - 2 * 10 * r = 100 - 60 = 40
Pak najdeme délku katetů.:
Nakonec najdeme obvod trojúhelníku složením délek všech jeho stran:
P = a + b + c = 2√10 + 2√10 + 10 = 4√10 + 10 viz
Příklad 3:
Obvod trojúhelníku P = 24 cm a poloměr kružnice R = 2 cm jsou známy.
Nejprve najdeme semiperimetr trojúhelníku podle vzorce p = P / 2:
p = 24 / 2 = 12 cm
Poté najdeme délku stran trojúhelníku pomocí vzorce a + b + c = P:
Vzhledem k tomu, že poloměr vepsané kružnice je 2 cm, máme následující systém rovnic:
2a + 2b + 2c = 24 + 8
Ze systému rovnic dostaneme následující délku stran trojúhelníku:
Po nalezení délek stran trojúhelníku lze tedy najít i jeho obvod.