Rovnostranný trojúhelník - je to trojúhelník, který má všechny strany stejné a všechny úhly jsou 60 stupňů. Vepsaný kružnice je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Poloměr vepsaného kružnice je vzdálenost od středu kružnice k libovolné straně trojúhelníku.
Jak najít poloměr vepsaného kružnice do správného trojúhelníku přes výšku? K zodpovězení této otázky je nutné znát základní vlastnosti správného trojúhelníku. Jednou z těchto vlastností je rovnost stran trojúhelníku a poloměru vepsaného kružnice. Poloměr vepsaného kružnice je tedy roven výšce (h) trojúhelníku, který je kolmý na jednu z jeho stran a prochází středem kružnice.
Poloměr vloženého kružnice lze vyjádřit přes stranu (a) správného trojúhelníku. Podle vlastností správného trojúhelníku lze výšku nalézt podle vzorce: h = a * sqrt(3) / 2. Poloměr vepsané kružnice je tedy h, tj. roven a * sqrt (3) / 2.
Definice pojmu "vepsaný kružnice" a "správný trojúhelník"
Vepsaný kružnice má vždy poloměr, který lze vyjádřit délkami stran trojúhelníku.
Správný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny tři strany stejné a všechny úhly jsou 60 stupňů.
Správný trojúhelník má vepsaný kružnice se středem v ortocentru (průsečík bissectris trojúhelníku).
Pro správný trojúhelník s výškou procházející středem vepsaného kružnice lze poloměr daného kružnice vyjádřit takto:
| Poloměr kružnice (R) | = | Strana trojúhelníku (a) | × | Kosinus 30° |
| = | Strana trojúhelníku (a) | × | √3/2 |
Poloměr vepsané kružnice do správného trojúhelníku přes výšku se tedy rovná straně trojúhelníku vynásobené odmocninou 3/2.
Spojení poloměru kružnice s výškou
Poloměr vhodného kružnice do správného trojúhelníku lze nalézt pomocí výšky trojúhelníku. Tato vazba je založena na základní větě o poloměrech vepsané kružnice při konstrukci výšky trojúhelníku.
Pro začátek je třeba pochopit definici pojmu "výška trojúhelníku". Výška trojúhelníku se nazývá kolmice nakreslená z vrcholu trojúhelníku na opačnou stranu nebo pokračování této strany. Hlavní vlastností výšky je, že prochází vrcholem trojúhelníku a rozděluje opačnou stranu na dvě stejné části.
Podle věty o poloměrech vepsaného kružnice lze říci, že výška trojúhelníku je také poloměrem vepsaného kružnice. Jinými slovy, poloměr vepsaného kružnice a výška trojúhelníku jsou stejné na délku.
Tuto vlastnost lze použít k výpočtu poloměru vepsaného kružnice, pokud je známa délka výšky trojúhelníku. Stačí v úkolu vyměnit měření poloměru za měření výšky a použít vzorce k nalezení poloměru trojúhelníku přes výšku.
Pokud je například známa délka výšky trojúhelníku 5 cm, pak poloměr vepsaného kružnice takového trojúhelníku bude také 5 cm.To vám umožní najít poloměr vepsaného kružnice pomocí měření výšky trojúhelníku bez dalších výpočtů.
Metody výpočtu poloměru vepsaného kružnice přes výšku
Výpočet poloměru vepsaného kružnice do správného trojúhelníku lze provést pomocí výšky trojúhelníku. K vyřešení tohoto problému existuje několik metod.
- Použití Swannova vzorce Jedním ze způsobů výpočtu poloměru vepsaného kružnice je použití Svannova vzorce. K tomu je třeba znát délku výšky trojúhelníku (h). Poloměr kružnice (r) lze vypočítat podle vzorce: r = (2 * S) / (a + b + c) kde S je plocha trojúhelníku, a, b A c je délka stran trojúhelníku.
- Použití geronova vzorce Dalším způsobem výpočtu poloměru vepsaného kružnice je použití Geronova vzorce. K tomu je nutné znát plochu trojúhelníku (s) a semiperimetru (p). Poloměr kružnice (r) lze vypočítat podle vzorce: r = S / p kde p = (a + b + c) / 2 je semiperimetr trojúhelníku.
- Použití vzorce Apollonia Třetí metoda výpočtu poloměru vepsaného kružnice je založena na vzorci Apollonia. K tomu je nutné znát délku strany trojúhelníku (a) a délku jeho výšky (h). Poloměr kružnice (r) lze vypočítat podle vzorce: r = (a * h) / (2 * p) kde p je semiperimetr trojúhelníku, h je délka výšky trojúhelníku.
Všechny tyto techniky umožňují vypočítat poloměr vepsaného kružnice do správného trojúhelníku pomocí výšky. Výběr metody závisí na známých datech a konkrétní situaci.
Praktické použití vzorce
Představme si situaci, kdy budeme muset postavit plán nového skiareálu. Jedním z designových prvků squeru je centrální fontána, která má tvar správného trojúhelníku. Úkolem je určit velikost vepsaného kružnice, aby odpovídala celkovému konceptu a ladila se zbytkem krajinných prvků.
K vyřešení tohoto problému je nutné znát výšku fontány, protože je známou veličinou. Když známe výšku, můžeme použít vzorec k nalezení poloměru vepsaného kružnice.
Pomocí nalezeného poloměru můžeme zjistit, jaké další prvky mohou fontánu ozdobit-například velikosti soch nebo květinových kompozic, které mohou být umístěny na vnitřním povrchu obvodu.
Vzorec pro nalezení poloměru vepsaného kružnice do správného trojúhelníku přes výšku má tedy skutečné praktické uplatnění v řadě úkolů souvisejících s geometrií a designem. To je dobrý příklad používání matematiky v každodenním životě a dělá z ní užitečnou a cennou vědeckou disciplínu.
| Uplatnění | Hodnota |
|---|---|
| Plány krajinného designu | Určení velikosti fontán, soch a kompozic |
| Stavitelství | Navrhování kruhových podložek, vnitřních otvorů |
| Inženýrství | Plánování zařízení, prostor ve tvaru trojúhelníků |
| Lekce geometrie | Ilustrace aplikace matematiky v každodenním životě |
Pomocí vzorců odvozených z odvození můžeme vypočítat poloměr zapsaného kružnice v jakémkoli správném trojúhelníku, když známe jeho výšku. To je zvláště užitečné při řešení problémů z geometrie, kde je nutné najít poloměr zadaného obvodu pro další výpočty.